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Extremwertaufgabe

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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kati23

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16:53 Uhr, 02.01.2014

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Hallo Leute!

Hab irgendwie keine Ahnung wie ich folgende Aufgabe angehen soll. Könnt ihr mir da eventuell bei der Haupt- und Nebenbedingung der Extremwertaufgabe helfen? Wäre euch sehr dankbar dafür!!

Bei einem Länderspiel muss ein Fußballfeld 105m lang sein. In einem Stadion beträgt die Entfernung von der Torlinie zum Fußpunkt der Tribüne 5m. Die Tribüne weist einen Steigungswinkel von α= 20° auf. Berechne, in welcher Höhe h auf der Tribüne der Blickwinkel Φ auf das gesamte Feld maximal ist. Wie viel Meter muss man auf der Tribüne zurücklegen, um dorthin zu gelangen?

DANKE schon mal im Voraus!

LG Kati

a

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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K1a2wi

K1a2wi

17:54 Uhr, 02.01.2014

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Der horizontale Abstand des Zuschauers auf der Tribüne sei xT,
mit h/xT=tan(20°).
Der Blickwinkel auf das Spielfeld sei φ, der Blickwinkel auf den
5m-Abstand φ1.
Der gesamte Horizontalabstand ist xg =105m+5m+ xT, die gesamte Höhe h und der
Gesamtwinkel φg=φ+φ1+α, mit h/xg =tan(φg).
Die Additionstheoreme für Winkelsummen www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Additionstheoreme sind zu beachten.
kati23

kati23 aktiv_icon

18:53 Uhr, 02.01.2014

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ok ja auf das bin ich auch gekommen, aber wie berechne ich mir mein h oder xT wenn ich keinen der beiden werte kenne?
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aleph-math

aleph-math aktiv_icon

15:48 Uhr, 04.01.2014

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Tag!

Ich fürchte, da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Prinzip. ist d. Betrachtung v. Gesamtwinkel & -strecke schon richtig, man muß allerd. d. richtigen Werte/Größen nehmen. D. Tribünensteig. setzt in deren Fußpkt an, d. Blickwinkel aber beim Zuschauer auf d. Trib. Statt α muß man daher d. Ko-winkel 90°-α (bzw π4-α) nehmen u. d. tan d. Gesamtwinkels ist genau d. Reziproke d. Angegeb. Also:

φg=φ+φ1+90-α
tanφg=xgh

Weit. Rechn. später! -GA

kati23

kati23 aktiv_icon

17:11 Uhr, 04.01.2014

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aja genau, stimmt! Danke!!
Könntest du mir bitte noch verraten wie ich weiter vorgehe?
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aleph-math

aleph-math aktiv_icon

19:31 Uhr, 05.01.2014

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Gu. Abd!
Sorry for delay, hab zuerst einen falschen Ansatz verfolgt, dann mich verrechnet (ja, auch mir passiert das glgt.) :-(

Zunächst einige weit. Größen:
(1) h=xTtanα;φ*=φ1+90-α=φ1+70. (2)
(3) tanφ*=xT+5h=xT+5xTtanα .

Gl.1 in tanφg aus d. vorh. Beitrag einsetzen, gibt:
tanφg=xgh=xT+110xTtanα . Um d. spätere Differenzieren zu erleichtern, vereinfachen/kürzen wir das:
tanφg=xT+110xTtanα=1tanα+110xTtanα=1tanα(1+110xT)=cotα(1+110xT) .
Jetzt ist xT nur 1x vorhanden, das ist leichter (keine Produktregel!)..

Ähnl. d. Teilwinkel (vgl. Gl.3):
tanφ*=xT+5xTtanα . Auch hier vereinfachen/kürzen wir: tanφ*=...=cotα(1+5xT) .

Jetzt Umkehrfkt anwenden & auflösen nach d. eigt. gesuchten φ:
φ=φg-φ*=arctan(cotα(1+110xT))-arctan(cotα(1+5xT)) .

Dafür suchen wir ein/das Max. Also ableiten & Null setzen:
φʹ=(1+(cotα(1+110xT))2)-1cotα-110xT2-(1+(cotα(1+5xT))2)-1cotα-5xT2:=0 .
(1+(cotα(1+110xT))2)-1cotα110xT2=(1+(cotα(1+5xT))2)-1cotα5xT2
110(1+(cotα(1+110xT))2)-1=5(1+(cotα(1+5xT))2)-1 Reziprok.
1+cot2α(1+220xT+1102xT2)=22(1+cot2α(1+10xT+52xT2)) Ordnen
cot2α(1-22+220xT-2210xT+12100xT2-2225xT2)=22-1xT2
cot2α(12100-550-21xT2)=21xT221tan2αxT2=11550-21xT2
21xT2(1+tan2α)=11550
xT=11550/211+tan2α9.57..¯ . Puh! Alles klar? :-)

Gutes Gelingen! Ich hoffe, es kommt nicht zu spät.. -GA

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Matlog

Matlog aktiv_icon

00:24 Uhr, 06.01.2014

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Da hat aleph-math Dir aber ne Menge Rechnerei abgenommen!
Nur ganz am Schluss ist ihm doch noch ein Fehler unterlaufen, weil sein Taschenrechner auf Bogenmaß statt auf Gradmaß gestellt war...
Antwort
aleph-math

aleph-math aktiv_icon

08:04 Uhr, 06.01.2014

Antworten
Schreck lass nach, "matlog" hat recht! Am Handy wird das nicht (gut) angezeigt u. ich hab unwillk. mit "Grad" als Default gerechnet.. :-(( Bei d. folg. Lösg. hab ich drauf geachtet!

Das wahre Ergebn. ist nat.: xT22.04..

Das ist aber nur d. halbe Miete.. Gefragt war ja eigt. nach d. Höhe, das ist aber simple Trigonom. ..
h=xTtanα=22.04tan20°=8.021..¯
Und f.d. Weg in diese Höhe dient d. Hypothenuse:
s=xTcosα=22.04cos20°23.45..¯ Voila!

Nach d. Winkeln war nicht explizit gefragt, das überlass ich (einstw.) Anderen o. (besser) zum Selberrechnen; aber viell. gibt's in einer Weile noch 'nen Nachschlag..

Weiterhin Viel Vergnügen! Gibt's noch so eine schöne Aufg.? ;-)

Frage beantwortet
kati23

kati23 aktiv_icon

12:13 Uhr, 06.01.2014

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Danke vielmals für eure Hilfe!!!
Antwort
K1a2wi

K1a2wi

15:37 Uhr, 06.01.2014

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Mir war beim Lesen der Aufgabenstellung nicht sofort klar, daß es sich um eine Extremwertaufgabe handelt, und auch die von aleph-math angeführte Lösung ist zwar korrekt gerechnet, es bleiben mir jedoch Zweifel, die ich mit Hilfe der beigefügten Zeichnung erörtern möchte.

Die Funktionen f1 und f2 stellen zwei verschiedene Blickwinkel auf den Feldrand (einschließlich Torrückraum) dar; die Funktion t beschreibt die Tribüne im Abstand von l=110m vom Feldrand.

f1(x0)=t(x0)=x0tan(α)=(l+x0)tan(φ01)

f1 hat an der Stelle x0+h den Funktionswert f1(x0+h)=(l+x0+h)tan(φ01)

f2 hat an der Stelle x0+h den Funktionswert f2(x0+h)=(l+x0+h)tan(φ02)

t hat an der Stelle x0 den Funktionswert t(x0+h)=f2(x0+h).

Ich betrachte δH=f2(x0+h)-f1(x0+h)=(l+x0+h)(tan(φ02)-tan(φ01)).

Für tan(φ02)-tan(φ01)>0 ist δH>0 und wegen der Monotonie der Tangensfunktion für 0<φ<α folgt φ02>φ01, ebenfalls monoton und umgekehrt; es ist sogar strengmonoton.

Für φ02>φ01 folgt φ2<φ1 (Winkelsumme im Dreieck).

Streng monotone Funktionen haben kein Extremum - ein Sattelpunkt ist möglich.

Kann aleph-math das ´mal prüfen?

In der Aufgabenstellung ist mir der Begriff "optimaler Blickwinkel" unklar,

der diese Überlegung angestoßen hat.


fussb
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K1a2wi

K1a2wi

15:39 Uhr, 06.01.2014

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der Formeleditor macht es nicht so, wie ich es gewohnt bin-sorry.
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Matlog

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11:14 Uhr, 07.01.2014

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@K1a2wi:

"In der Aufgabenstellung ist mir der Begriff "optimaler Blickwinkel" unklar,"

Wichtig ist dabei ja, worauf sich der Blickwinkel richtet.
Mein Eindruck: hier liegt Dein Problem (ich bin aber nicht sicher!).

Du betrachtest scheinbar immer den Blickwinkel auf die kompletten 110m.
In der Aufgabenstellung steht aber "Blickwinkel auf das gesamte Feld", also nur auf das Fußballfeld von 105m, was aus der Originalskizze auch ersichtlich ist.