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Extremwertaufgabe

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremwertaufgabe, extremwertberechnung

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21:35 Uhr, 22.03.2018

Hallo Leute,
hab meinen Schulfreien Tag heute damit vollbracht Matheaufgaben zu lösen.
Während ich bei allen andern eine Lösung gefunden habe verzweifle ich hier komplett.

Geg. Funktion

g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}

Der Graph der Funktion

g,

die x-Achse und die Gerade

x = 8

begrenzen eine Fläche vollständig. DIeser Fläche seien Rechtecke so einbeschriebe, dass eine Seite auf der x-Achse und eine weitere Seite auf der Gerade

x = 8

liegt. Es existiert ein solches Rechteck mit maximalenn Flächeninhalt.
Ermitteln Sie dieses Rechteck.

Mein Ansatz
Nebenbedienung:

A = a \cdot b a = 8

b = y = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}

x = a

b = 8 \cdot (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \to

falsch
Komme echt nicht weiter und würde euch um Hilfe bitten (Aufgabe

e

im Bild und mein wirrer Ansatz)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

21:47 Uhr, 22.03.2018

Sei A ein Punkt des Graphen mit

A (x | y),

dann ist die waagrechte Seite des Rechtecks

8 - x

und die senkrechte Seite

y

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21:55 Uhr, 22.03.2018

Ok das habe ich Grunndsätzlich verstanden, jetzt müsste ich ja meine Nebenbedienung irgendwie einsetzet
maximaler Flächeninhalt

= (8 - x) \cdot y ((8 - a) \cdot b)

oder ?
Wie genau muss ich das jetzt einsetzten. Bin gerade etwas verwirrt :-D)?

Respon

22:00 Uhr, 22.03.2018

A (x | y)

Flächeninhalt vorerst

(8 - x) \cdot y

Da der Punkt A auf dem Graph der Funktion liegt und seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen, gilt

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}

\Rightarrow

Flächeninhaltsfunktion

(8 - x) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}

. .

. differenzieren, 0 setzen usw.

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22:12 Uhr, 22.03.2018

Ok Erste Ableitung f´(x)=

\frac{8 x^{3} + 32 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}

\to

0-Stelle 1.Ableitung= Extrempukt 0.Ableitung
Und die Nullstelle beträgt

x = 0

Das ergibt aber keinen Sinn, da vom Punkt A die x-Koordinate nicht null sein kann, wenn es ein Rechteck werden soll. Irgendwo hier muss mein Denkfehler sein

; D

Respon

22:14 Uhr, 22.03.2018

Überprüfe deine Ableitung.

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22:36 Uhr, 22.03.2018

Ok :-D) Richtige Ableitung:

\frac{- (x^{3} + 4 \cdot x - 16)}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}

NST:2

\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}

\frac{2}{{(2^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}

=(Wurzel6)

/ 3

A(2/Wurzel6)

/ 3)

??

Stimmt das so

Respon

22:41 Uhr, 22.03.2018

Wenn ich das richtig entziffere, dann bekommst du

A (2 | \frac{\sqrt{6}}{3})

Das ist korrekt.
Der Flächeninhalt fehlt noch.

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22:56 Uhr, 22.03.2018

Ok ja Ist richtig entziffert wurden
Um Flächeninhalt zu bilden

a \cdot b x 1 = 2 x 2 = 8

Länge Vektor=6 LE

Vektor AD ist √(6)/3

Flächeninhalt= 6*√(6)/3 = 2*√6

= 4.899

FE

Sorry bin zu dumm mit der Tastatur ne Wurzel zu machen. Stimmt das Ergebnis?

Respon

22:58 Uhr, 22.03.2018

Ja, der Flächeninhalt ist

2 \cdot \sqrt{6}

( Eigentlich müsste man noch überprüfen, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt. )

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23:03 Uhr, 22.03.2018

Ok ja das ist ja dann kein Problem mehr. :-D)

Vielen Vielen Danke für die Hilfe. Hat mir mein Abend gerettet.
Noch eine schöne Restwoche und Danke für die Hilfe. :-D)

Respon

23:05 Uhr, 22.03.2018

De nada !

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