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Extremwertaufgabe

Schüler Hauptschule,

Tags: Extremwertaufgabe

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17:00 Uhr, 02.12.2018

Aus einer Platte (dreieckig, rechtwinklig) mit den Längen

a = 1 m

und

b = 1,5 m

soll ein Recheck ausgeschnitten werden. Das Recheck soll den rechten Winkel des Dreiecks behalten und maximale Fläche besitzen. Gesucht sind die Abmessungen dieses Rechtecks.

Skizze anbei.

Das Dreieck selbst besitzt:
Fläche:

\frac{1,0 \cdot 1,5}{2} = 0,75 m^{2}

Hypotenuse:

\sqrt{1^{2} + {1,5}^{2}} = ~ 1,8 m

Die Maße des Rechtecks benenne ich mit

a 1

und

b 1

.

?Extremalfunktion:

A = a 1 \cdot b 1

Wie gelange ich zu Haupt-, Neben- und Zielbedingungen?

Danke für Hilfe.
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:01 Uhr, 02.12.2018

Die Hauptbedingung hast du doch schon mit

A = a_{1} \cdot b_{1}

Zeichne dir nun

a_{1}

und

b_{1}

in deiner Zeichnung ein und versuche, einen Zusammenhang zwischen den beiden zu formulieren - schließlich muss eine Rechteckseite ja auf der Hypotenuse deiner Dreiecksplatte liegen.
Du kannst dazu zB die Gleichung dieser schrägen Geraden aufstellen oder wahlweise auch mithilfe von ähnlichen Dreieck oder dem Strahlensatz zu der gewünschten Beziehung zwischen

a_{1}

und

b_{1}

kommen. Such dir einen Weg aus und gehe ihn.

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17:49 Uhr, 07.12.2018

Okay, danke!
Der Zusammenhang kann erstellt werden durch Abzug der wegfallenden Länge von

2,5 m

b 1 = 2,5 - k

wobei

k

der Anteil der Hypotenuse

2,5 m

ist, der nicht zum Rechteck gehört.

Wie wende ich den Strahlensatz hier richtig an?

\frac{1,5 - b 1}{a} 1 = (\frac{1,5}{1})

\frac{1,5 - b 1}{a} 1 = 1,5

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18:48 Uhr, 07.12.2018

Mein Versuch:

HB

A = a \cdot b

(\frac{1}{b}) = (\frac{1,5}{1,5 - a})

Kehrwert NB

(\frac{b}{1}) = (\frac{1,5 - a}{1,5}) | \cdot 1

b = \frac{1,5 - a}{1,5}

A (a) = a \cdot (1,5 - \frac{a}{1,5}) = - \frac{2}{3} a^{2} + 1 a

ZF'

A' (a) = (- 1 \frac{1}{3}) a + 1

A' (a) = 0

(- 1 \frac{1}{3}) a + 1 = 0

a = 0,75

b = \frac{1,5 - 0,75}{1,5} = 0,5

A = 0,5 \cdot 0,75 = 0,375

Das gesuchte Rechteck hat eine Fläche von

0,375 m^{2}

bei den Abmessungen

0,5 m \cdot 0,75 m

.

So in etwa??

LG

anonymous

19:29 Uhr, 07.12.2018

Hallo
Auf die Lösung schielen gilt nicht! Das ist wie abschreiben, und fällt doch auf...

Du hast nach
"ZF' "
versucht, die Ableitung zu bilden.
Willst du nochmals mit Konzentration und besser...?

Roman-22

23:08 Uhr, 07.12.2018

>

Das gesuchte Rechteck hat eine Fläche von

0,375 m 2

bei den Abmessungen 0,5m⋅0,75m.
Dieses Ergebnis ist richtig
Aber deine Rechnung dazu...

: - (

Und dass es

d

irgendwo eine Hypotenuse mit

2,5 m

geben soll ....????

Nickname02 aktiv_icon

00:08 Uhr, 08.12.2018

@ 11engleich
Hallo,
in diesem Fall habe ich keine Lösung vorliegen, auf die ich schielen kann.
Ist die Ableitung falsch? Ich habe es mir nochmal angesehen, nochmal durchgerechnet; ich bin nicht sicher worauf du hinaus willst

: (

@Roman22
Wofür muss ich die Hyptenuse in diesem Fall wissen?

Okay, die Rechnung ist... Nicht elegant, nicht schön? Ich habe versucht über Strahlensatz zu rechnen und mich dabei an einer ähnlichen Aufgabe (gleiche Fragestellung mit anderen Werten) orientiert.

Es ist nicht meine Absicht, mich nicht auf die Aufgabe oder eure Hilfe einzulassen, falls der Eindruck aufkommt!

LG

EDIT: ich habe die Bezeichnungen/ Buchstaben vom Anfang geändert und damit weiter gerechnet; das war vielleicht verwirrend und nicht besonders hilfreich, pardon.

anonymous

08:41 Uhr, 08.12.2018

Du hattest die Funktion "ZF":

A (a) = - \frac{2}{3} \cdot a^{2} + a

Dann wolltest du die Ableitung bilden:

A' =

dA/da

= - \frac{2}{3} \cdot . .

.
Na, was ist die Ableitung von

a^{2} -

wenn du nach a ableitest?
Das ist doch ebenso wie die Ableitung von

x^{2} -

wenn du nach

x

ableitest...

Atlantik aktiv_icon

09:01 Uhr, 08.12.2018

Alternative über die Nullstellen der Parabel:

- \frac{2}{3} a^{2} + a = 0

Der Extremwert einer solchen Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Also...

mfG

Atlantik

Roman-22

11:46 Uhr, 08.12.2018

>

Wofür muss ich die Hyptenuse in diesem Fall wissen?
Gar nicht, aber du hattest doch geschrieben:
"wobei $k$ der Anteil der Hypotenuse $2,5 m$ ist, der nicht zum Rechteck gehört.",
was immer du auch damit gemeint haben magst.

>

ich habe die Bezeichnungen/ Buchstaben vom Anfang geändert und damit weiter gerechnet; das war vielleicht verwirrend und nicht besonders hilfreich
Das kannst du laut sagen! Aus dem

a_{1}

wurde plötzlich

b

und aus dem

b_{1}

wurde

a

.

Dein ursprünglicher Vorschlag was das Verhältnis zw

a_{1}

und

b_{1}

anlangt war richtig (wenn wir von dem Exkurs "Hypotenuse 2,5m" mal absehen) und auch die Rechnung nach deiner wilden Umbenennung der Größen war damit dann OK.

Dass du fälschlicherweise

a \cdot (1,5 - \frac{a}{1,5}) = - \frac{2}{3} a^{2} + 1 a

schreibst ist vermutlich nur einer fehlenden Kammersetzung hier zu verdanken (Postings immer nochmals durchlesen!!) und sollte wohl

a \cdot (\frac{1,5 - a}{1,5}) = - \frac{2}{3} a^{2} + 1 a

lauten.

Was elfe irrtümlicherweise stört ist, dass du die Ableitung von

- \frac{2}{3} a^{2}

mit

- 1 \frac{1}{3} a

angibst. Das ist aber richtig, nur würde ich dir dringend raten, die Schreibweise

1 \frac{1}{3}

für

1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

ad acta zu legen und nicht mehr zu verwenden. Ich weiß, dass in den Schulen diese Schreibweise immer noch gedrillt wird und man lernt dabei ja auch Sinnvolles was die Größenlage von Brüchen anlangt. Aber für die praktische Verwendung ist die Schreibweise einfach zu irreführend und daher unbrauchbar.

1 \frac{1}{3} a

steht ja tatsächlich für

(1 + \frac{1}{3}) a

und da ist

\frac{4}{3} a

deutlich sinnvoller.

Ein Hinweis noch: Du hattest doch richtigerweise

\frac{1,5 - b_{1}}{a_{1}} = \frac{1,5}{1}

angegeben.
Warum formst du nicht einfach nach

b_{1} = 1,5 - 1,5 a_{1}

um und setzt das dann in die Zielfunktion

A = a_{1} \cdot b_{1}

ein?

SmoothCriminal aktiv_icon

18:45 Uhr, 08.12.2018

Moin,

falls Dir das normale EWA-Prodezere mit NB, HB und ZF hier mit Strahlensatz schwer fällt (so ergeht es den meisten meiner Nachhilfeschüler), und falls Du EWAs mit "extrem großen Flächen (Rechteck, Dreieck, Trapez,

. .)

unter Funktionen" bereits in der Schule hattest, so nutze hier besser letzteres Verfahren.

Zeichne Dir in Deine Skizze also noch ein Koordinatensystem (Ursprung sollte der untere linke Punkt der Dreiecksscheibe sein), so dass die Hypotenuse jene Funktion darstellt, unter die ein möglichst großes, zu den Koordinatenachsen paralleles Rechteck soll, dessen unterer linker Punkt im Ursprung liegt.

Diese Gerade

g (x)

ist aus

P (0 | 1)

und

N (2,5 | 0)

schnell aufgestellt - ebenso wie die Zielfunktion, denn sie lautet bei solchen maximalen Rechtecken immer

f (x) = x \cdot g (x)

.

Zumindest finden meine Schüler diesen Weg meist viel besser/verständlicher. Viel Erfolg!

Nickname02 aktiv_icon

21:30 Uhr, 08.12.2018

Okay, lieben Dank an alle!

Ihr werdet bestimmt bald wieder von mir lesen, befürchte ich... ;-)

LG & schönes Wochenende!

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