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Extremwertaufgabe

Schüler

Tags: Extremwertaufgabe, Kegel, Kugel, maximales Volumen

 
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PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

21:01 Uhr, 13.01.2021

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Hallo,
habe mir selbst eine Extremwertaufgabe gestellt und komme auf ein für mich ungewöhnliches Ergebnis.

Innerhalb einer Kugel soll ein Kegel mit max. möglichem Volumen definiert werden.
Radius der Kugel soll R=2 sein.

Welchen Radius r und welche Höhe h hat der Kegel bei max. möglichem Volumen V.

Lösungsansatz: Radius der Kugel R=2; Radius Kegel r=?; Höhe des Kegels h=?
Hauptbedingung:
V=13πr2h(V soll max. groß sein)
mit Nebenbedingung:
h=2-4-r2

V(r)=13πr2(2-4-r2)
Bestimmung erste Ableitung :
V'(r)=2πr334-r2+4πr32πr4-r23
Erste Ableitung dann Null setzen um Hochpunkt zu kriegen.
Jetzt kommt mein Problem:
Erste Nullstelle gibt es für r=0 (das ist ein Tiefpunkt).
Weitere Nullstellen kann ich nicht finden/gibt es nicht?
Max. Volumen des Kegels liegt vermutlich bei r=2h=2.
Aber genau hier strebt die erste Ableitung asymptotisch gegen 2 also maximale Steigung an der Stelle?
Hab ich nen Rechenfehler (glaub ich nicht) oder kann mir das jemand erklären?
Anbei noch eine Skizze und die Grafen von V(r) (grün) und V'(r) (blau)

Wäre echt super - danke
PapaBarny

Screenshot_20210113-205150_Scientific Calculator
20210113_205027

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Respon

Respon

21:32 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Überprüfe deine Nebenbedingung.
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

21:59 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Mir ist gerade noch aufgefallen, dass bei der ersten Ableitung zwischen den beiden hinteren Brüchen ein Minus stehen muss und kein Mal (sorry

Die NB hab ich anhand meherer Bsple. überprüft sollte eigentlich stimmen
Antwort
Respon

Respon

22:00 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Der Fehler liegt schon vorher.
Kann die Höhe des Kegels kleiner als der Radius der Kugel sein ?
PapaBarny

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22:07 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Ja klar.
Wenn die Grundfläche des Kegels über dem Mittelpunkt der Kugel liegt.
Höhe h kann 0 bis 2 mal Radus der Kugel sein (also 0 bis 4)
Natürlich macht kleiner 2 für max. Volumem keinen Sinn.
Antwort
Roman-22

Roman-22

22:08 Uhr, 13.01.2021

Antworten
> Die NB hab ich anhand meherer Bsple. überprüft → sollte eigentlich stimmen
Tut sie aber nicht. ±
Antwort
Respon

Respon

22:08 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Also wie sieht jetzt die Nebenbedingung aus ?
PapaBarny

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22:12 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Ja vor der Wurzel ist ±
OK - das ändert aber mein Problem nicht
Antwort
Respon

Respon

22:13 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Ja vor der Wurzel ist ±.
???
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

22:17 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Ich sollte Hilfe haben.
Und nicht immer mehr Fragen.

Ich habe meine Möglichkeiten hier ausgeschöpft - sonst hätte ich die Frage nicht ins Forum gestellt.
Antwort
Respon

Respon

22:19 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Also
h=2+4-r2
( Nachdem du so höflich danach gefragt hast )
Der weitere Weg ist ja klar.
Sowohl für r als auch für h bekommst du "schöne" Werte.

Antwort
Respon

Respon

22:29 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Aber offensichtlich gibt es kein Interesse mehr ..
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

22:32 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Doch natürlich.
Rechne nach wie ein wahnsinniger.
Bin leider wohl nicht ganz so auf Zack wie ihr. :-)
Melde mich
Antwort
Respon

Respon

22:35 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Vielleich hast du zuviel "Ehrfurcht" vor dieser Aufgabe.
Also
V(r)=r2π(2+4-r2)3
V'(r)=...
V'(r)=0
r=...
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

22:44 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Nee - ich beginne eher Ehrfurcht vor dir zu bekommen. :-)
Weiß Jetzt nicht ob ich mich verrechnet habe aber bin jetzt bei
9r4+16r2-128=0
und müsste jetzt substituieren.
Richtig oder Hochwald??? :-)
Antwort
Respon

Respon

22:53 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Nachdem ich den Rechenweg nicht sehe ...
Scheint nicht richtig zu sein.
Das Ergebnis wäre r=423
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

22:57 Uhr, 13.01.2021

Antworten
OK - danke.
Ich mach für heute Schluss.
Rechne morgen in Ruhe nach und melde mich nochmal.
Vielen Dank auf jeden Fall mal jetzt schon.
Antwort
Respon

Respon

23:00 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Die Gleichung müsste lauten:
9r4-32r2=0

r2(9r2-32)=0
r2=329
r=423


h=83
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:05 Uhr, 13.01.2021

Antworten
>9r4+16r2-128=0

Es sieht so aus, als hättest du möglicherweise die Ableitung noch richtig und hast dann, um die Wurzel zu beseitigen, bei einer Summe einfach jeden Summanden einzeln quadriert - das ist ein grober Fehler!
Du hast eine Wurzelgleichung mit einer einzigen Wurzel. Bring diese allein (gerne auch mit ihrem Vorfaktor 4, damit du dir keine Brüche einhandelst) auf eine Seite der Gleichung und quadriere dann beidseits. Vergiss dabei aber nicht, dass du bei einer Summe die binomische Formel verwenden musst!
Damit solltest du dann auf die von Respon genannte Gleichung kommen

Du kannst auch zur Kontrolle und zur Sicherheit deine Ableitung und mehr von deinem Rechengang hier posten, wenn du nicht auf die richtige Lösung kommst.
Frage beantwortet
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

23:43 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Respekt an euch beide!!!
Habe es jetzt nachvollziehen können.
Und ja - genau das war mein Fehler.
Gruß und gute N8
Antwort
Respon

Respon

23:48 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Leider ist es in der Mathematik so : Abyssus abyssum invocat
Also:
Carpe noctem
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

23:53 Uhr, 13.01.2021

Antworten
ok - das hab ich jetzt nun auch noch kurz gegoogelt :-)