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Extremwertaufgabe

Schüler

Tags: Extremwertaufgabe, Kegel, Kugel, maximales Volumen

PapaBarny aktiv_icon

21:01 Uhr, 13.01.2021

Hallo,
habe mir selbst eine Extremwertaufgabe gestellt und komme auf ein für mich ungewöhnliches Ergebnis.

Innerhalb einer Kugel soll ein Kegel mit

max

. möglichem Volumen definiert werden.
Radius der Kugel soll

R = 2

sein.

Welchen Radius

r

und welche Höhe

h

hat der Kegel bei

max

. möglichem Volumen V.

Lösungsansatz: Radius der Kugel

R = 2;

Radius Kegel r=?; Höhe des Kegels

h =

?
Hauptbedingung:

V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot h (V

soll

max

. groß sein)
mit Nebenbedingung:

h = 2 - \sqrt{4 - r^{2}}

\Rightarrow V (r) = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot (2 - \sqrt{4 - r^{2}})

Bestimmung erste Ableitung :

V' (r) = \frac{2 \cdot π \cdot r^{3}}{3 \cdot \sqrt{4 - r^{2}}} + \frac{4 \cdot π \cdot r}{3} \cdot \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot \sqrt{4 - r^{2}}}{3}

Erste Ableitung dann Null setzen um Hochpunkt zu kriegen.
Jetzt kommt mein Problem:
Erste Nullstelle gibt es für

r = 0

(das ist ein Tiefpunkt).
Weitere Nullstellen kann ich nicht finden/gibt es nicht?
Max. Volumen des Kegels liegt vermutlich bei

r = 2 \Rightarrow h = 2

.
Aber genau hier strebt die erste Ableitung asymptotisch gegen

2 \Rightarrow

also maximale Steigung an der Stelle?
Hab ich nen Rechenfehler (glaub ich nicht) oder kann mir das jemand erklären?
Anbei noch eine Skizze und die Grafen von

V (r)

(grün) und

V' (r)

(blau)

Wäre echt super - danke
PapaBarny

Screenshot_20210113-205150_Scientific Calculator

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

21:32 Uhr, 13.01.2021

Überprüfe deine Nebenbedingung.

PapaBarny aktiv_icon

21:59 Uhr, 13.01.2021

Mir ist gerade noch aufgefallen, dass bei der ersten Ableitung zwischen den beiden hinteren Brüchen ein Minus stehen muss und kein Mal (sorry

Die NB hab ich anhand meherer Bsple. überprüft

\to

sollte eigentlich stimmen

Respon

22:00 Uhr, 13.01.2021

Der Fehler liegt schon vorher.
Kann die Höhe des Kegels kleiner als der Radius der Kugel sein ?

PapaBarny aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.01.2021

Ja klar.
Wenn die Grundfläche des Kegels über dem Mittelpunkt der Kugel liegt.
Höhe

h

kann 0 bis 2 mal Radus der Kugel sein (also 0 bis

4)

Natürlich macht kleiner 2 für

max

. Volumem keinen Sinn.

Roman-22

22:08 Uhr, 13.01.2021

>

Die NB hab ich anhand meherer Bsple. überprüft → sollte eigentlich stimmen
Tut sie aber nicht.

\pm

Respon

22:08 Uhr, 13.01.2021

Also wie sieht jetzt die Nebenbedingung aus ?

PapaBarny aktiv_icon

22:12 Uhr, 13.01.2021

Ja vor der Wurzel ist

\pm

OK - das ändert aber mein Problem nicht

Respon

22:13 Uhr, 13.01.2021

Ja vor der Wurzel ist

\pm

.
???

PapaBarny aktiv_icon

22:17 Uhr, 13.01.2021

Ich sollte Hilfe haben.
Und nicht immer mehr Fragen.

Ich habe meine Möglichkeiten hier ausgeschöpft - sonst hätte ich die Frage nicht ins Forum gestellt.

Respon

22:19 Uhr, 13.01.2021

Also

h = 2 + \sqrt{4 - r^{2}}

( Nachdem du so höflich danach gefragt hast )
Der weitere Weg ist ja klar.
Sowohl für

r

als auch für

h

bekommst du "schöne" Werte.

Respon

22:29 Uhr, 13.01.2021

Aber offensichtlich gibt es kein Interesse mehr ..

PapaBarny aktiv_icon

22:32 Uhr, 13.01.2021

Doch natürlich.
Rechne nach wie ein wahnsinniger.
Bin leider wohl nicht ganz so auf Zack wie ihr. :-)
Melde mich

Respon

22:35 Uhr, 13.01.2021

Vielleich hast du zuviel "Ehrfurcht" vor dieser Aufgabe.
Also

V (r) = \frac{r^{2} \cdot π \cdot (2 + \sqrt{4 - r^{2}})}{3}

V' (r) = . .

V' (r) = 0

r = . .

PapaBarny aktiv_icon

22:44 Uhr, 13.01.2021

Nee - ich beginne eher Ehrfurcht vor dir zu bekommen. :-)
Weiß Jetzt nicht ob ich mich verrechnet habe aber bin jetzt bei

9 r^{4} + 16 r^{2} - 128 = 0

und müsste jetzt substituieren.
Richtig oder Hochwald??? :-)

Respon

22:53 Uhr, 13.01.2021

Nachdem ich den Rechenweg nicht sehe

. .

.
Scheint nicht richtig zu sein.
Das Ergebnis wäre

r = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

PapaBarny aktiv_icon

22:57 Uhr, 13.01.2021

OK - danke.
Ich mach für heute Schluss.
Rechne morgen in Ruhe nach und melde mich nochmal.
Vielen Dank auf jeden Fall mal jetzt schon.

Respon

23:00 Uhr, 13.01.2021

Die Gleichung müsste lauten:

9 \cdot r^{4} - 32 \cdot r^{2} = 0

\Rightarrow

r^{2} \cdot (9 \cdot r^{2} - 32) = 0

r^{2} = \frac{32}{9}

r = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

\Rightarrow h = \frac{8}{3}

Roman-22

23:05 Uhr, 13.01.2021

> 9 r 4 + 16 r 2 - 128 = 0

Es sieht so aus, als hättest du möglicherweise die Ableitung noch richtig und hast dann, um die Wurzel zu beseitigen, bei einer Summe einfach jeden Summanden einzeln quadriert - das ist ein grober Fehler!
Du hast eine Wurzelgleichung mit einer einzigen Wurzel. Bring diese allein (gerne auch mit ihrem Vorfaktor

4,

damit du dir keine Brüche einhandelst) auf eine Seite der Gleichung und quadriere dann beidseits. Vergiss dabei aber nicht, dass du bei einer Summe die binomische Formel verwenden musst!
Damit solltest du dann auf die von Respon genannte Gleichung kommen

Du kannst auch zur Kontrolle und zur Sicherheit deine Ableitung und mehr von deinem Rechengang hier posten, wenn du nicht auf die richtige Lösung kommst.

PapaBarny aktiv_icon

23:43 Uhr, 13.01.2021

Respekt an euch beide!!!
Habe es jetzt nachvollziehen können.
Und ja - genau das war mein Fehler.
Gruß und gute

N 8

Respon

23:48 Uhr, 13.01.2021

Leider ist es in der Mathematik so : Abyssus abyssum invocat
Also:
Carpe noctem

PapaBarny aktiv_icon

23:53 Uhr, 13.01.2021

ok - das hab ich jetzt nun auch noch kurz gegoogelt :-)

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