Extremwertaufgabe

Moin,

hab hier eine Aufgabe wo ich nicht weiter komme:

Eine Ölkanne soll die Form eines Zylinders erhalten, dem ein Kegel von gleichen Grundkreisdurchmesser oben aufgesetzt ist. Die Höhe des aufgesetzten Kegels soll ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ des gemeinsamen Grundkreisdurchmesser betragen. Die Maßzahl des Rauminhalts ist 6$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$.

Wie sind die Abmessungen der Kanne (Grundkreisradius, Zylinderhöhe und Höhe des aufgesetzten Kegels) zu wählen, wenn man einen möglichst kleinen Materialverbrauch erreichen will.

Also ich habe erstmal die einzelnen Formeln für die Oberfläche auf gestellt:

A Grundkreis=$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2)² A Mantel vom Zylinder=d$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal h und A Oberfläche vom Kegel= $\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2) mal $\sqrt{(2/3)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+(\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

dann habe ich die Formel für das Volumen von der Ölkanne aufgestellt:

6$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$=$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2)²mal h + 1/3$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2)² mal 2/3d

Dann habe ich die Volumen Formel nach h aufgelöst und in die Oberflächen Formel für die Ölkanne eingesetzt:

O(d)=$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2)²+d$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$((6$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$-1/3$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2)² mal 2/3d)/$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal (d/2)²)+$\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ mal d/2 mal $\sqrt{(2/3)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+(\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Aber ich weiß jetzt nicht was ich mit der Gleichung machen soll. Der Graf hat kein minimum und kein maximum. Kann das vielleicht jemand überprüfen?

Hi,

ich hab dir die Aufgabe mal gescannt;

Falls Fragen sind (oder natürlich Berichtigungen) bitte melden.

pantau