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Extremwertaufgabe Abstand
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:54 Uhr, 24.01.2004  |
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Ich habe ein ziemlich großes Problem mit folgender Aufgabe: Ein Auto fährt zum Zeitpunkt t=0s mit konstanter Beschleunigung a=2,0 m/s² an, d.h. für den zurückgelegten Weg gilt S= 1,0 m/s²*t² Zur gleichen Zeit t=0s fährt 120 m hinter dem startenden Auto ein Motorrad mit der konstanten Geschwindigkeit v=20 m/s, d.h. S(Motorrad)= 20 ms*t Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt t1 die beiden Fahrzeuge den kleinsten abstand haben! Wie groß ist dieser? Wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte wäre ich ihm sehr verbunden! vielen dank im vorraus |
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diese art von aufgaben löst man meistens immer auf die gleiche art. du hast jetzt zwei funktionsgleichungen, die der zeit die ortskoordinaten des autos bzw. motorades zuordnen. was du über die ort-zeit-gesetze für auto und motorad geschrieben hast, ist allerdings nicht so ganz richtig. es gibt noch ein problem mit dem nullpunkt des ortes. ich meine folgendes, wenn ich die gleichungen für auto und motorad so wie du sie hingeschrieben hast übernehme... S_a(t)= 1,0 m/s²*t² und S_m(t)= 20 m/s*t ... bekomme ich für t=0 für auto und motorad den ort 0 m. stimmt aber nicht. zum zeitpunkt t=0 haben sie 120 meter abstand. ich muss also entweder 120m als summanden beim auto addieren, oder beim motorad abziehen. klar? also, dann haben wir die beiden richtigen gleichungen: S_a(t)= 1,0 m/s²*t² + 120m und S_m(t)= 20 m/s*t. daraus müssen wir jetzt eine funktionsgleichung basteln, die den abstand der fahrzeuge in abhängigkeit der zeit angibt. wie bekommt man den abstand raus? einfach die ortskooerdinaten zu den entsprechenden zeiten subtrahieren. dann gilt also für den abstand A(t): A(t)=S_a(t)-S_m(t)= 1,0 m/s²*t² + 120m - 20 m/s*t. jetzt müssen wir noch das t bestimmen, für die A(t) den kleinsten wer annimmt. wie macht man das? minimum mit den ersten beiden ableitungen bestimmen. A'(t)= 2,0 m/s² * t - 20 m/s A''(t)= 2,0 m/s Bedingung für ein minimum an der stelle t_0: A'(t_0)=0 und A''(t_0)>0. 2,0 m/s² * t_0 - 20 m/s = 0 <=> t_0 = 10 s. A''(10 s) = 2,0 m/s >0 bei t_0 = 10 s hat nimmt der wert von A(t) also den kleinsten wert an. (wenn die funktionsgleichung einen eingeschränkten definitionsbereich hätte, müsste man nun noch schauen, was an den rändern des definitionsbereiches passiert.) im letzten schritt müssen wir dann nur noch gucken, wie groß der abstand nach diesen 10 sekunden ist. also einfach einsetzen: A(10 s) = 100m + 120m - 200m = 20m. alles klar? |
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