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Extremwertaufgabe - Dreieck im Koordinatensystem
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion
 
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Hi, Folgende Aufgabe: In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sei ein Punkt (x1;-)gegeben. Man soll durch eine Gerade so ziehen, dass der Flächeninhalt des entstehenden rechtwinkligen Dreicks ()AB und sind die Schnittpunkte der Gerade mit den Achsen) möglichst klein wird. Wie groß müssen die Abschnitte OA und OB gewählt werden? Also ich bin so vorgegangen: Skizze: Koordinatensystem gezeichnet. Dreieck gezeichnet, rechter Winkel und Punkt ist bei auf der x-Achse ist Punkt A und auf der Y-Achse Punkt B. Nun Brauche ich ja zwei Gleichungen, aus denen ich eine mache. 1. 2. Dann versuche ich 2. nach a aufzu lösen, damit ich in Gleichung 1 einsetzen kann. und setze ein: liege ich soweit richtig? wenn ja, wie geht's weiter? hier schon die erste Ableitung anwenden? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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. wie ist die richtige Aufgabenstellung? Du hast dann noch ein ? , dann nimmst du a und als Achsabschnitte - das passt alles nicht so richtig zusammen. ;-) |
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Also ich habe die Aufgabe so vom Blatt abgeschrieben. Die Aufgabe sieht laut meiner Skizze jetzt auch nicht so verkehrt aus. Werte sind keine gegeben, aber wenn man Werte verwendet dann sieht meine Skizze so aus: Punkt A und sind mit einer Diagonale verbunden (Gerade bzw. AB). Ob jetzt oder Punkt A oder Punkt ist, weiß ich nicht. Werte sind ja keine gegeben. in meiner eigenen Skizze sind aber OA das selbe wie a und OB dasselbe wie also: OA (x-Achsenabschnitt) OB (y-Achsenabschnitt) |
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. und die Fläche soll minimiert werden ???? Dann leg a oder auf 0 und schon hast du eine kleinstmögliche Fläche. Sinvoller wäre zum Beispiel folgende Aufgabenstellung: Gegeben sei ein Punkt durch den eine Gerade laufen soll und man berechnet einen zweiten Punkt, . auf der x-Achse, durch den die Gerade laufen soll so das die Fläche zwischen Gerade und Koordinatenachsen minimal werden soll. ;-) |
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Also, nicht dass wir an einander vorbeireden. Ich habe ja keine (Zahlen-) Werte, die ich einsetzen könnte. Ich schreib mal die Aufgabe hier noch mal, nicht dass durch meinen Lösungsansatz Missverständnisse auftreten. Und normalerweise müsste ich eine Funktion basteln und durch 2. Ableitung Minima herausfinden. Hier nochmal die Aufgabenstellung abgeschrieben: In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sei ein Punkt (x1;-)gegeben. Man soll durch eine Gerade so ziehen, dass der Flächeninhalt des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks OAB und sind die Schnittpunkte der Gerade mit den Achsen) möglichst klein wird. Wie groß müssen die Abschnitte OA und OB gewählt werden? |
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Was soll der Punkt P1, wenn er in der Aufgabe keine Rolle spielt und die Gerade nur durch P2 gehen soll? Lass das Abschreiben und lade die Aufgabe als Foto (mit eventuell dazugehörenden Abbildungen) hoch. (Notfalls musst du die Auflösung reduzieren, denn die Dateigröße darf maximal 500 kB betragen.) |
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Hier ist die Aufgabe Hoffe das funktioniert mit dem hochladen. Skizzen, bzw. Abbildungen gibt es keine.  |
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"Hier nochmal die Aufgabenstellung 1:1 abgeschrieben:" Haha. Dann hättest du aber nicht " P1 (x1;-)" schreiben sollen und auch nichts von einem angeblichen Punkt P2. Soviel dazu. Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte (x1|y1) und (0|a) auf. Berechne die Nullstelle dieser Geraden und nenne sie b. Bilde das Produkt a*b und minimiere es. |
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Achso ok: Also ich mach was du sagst. Ist das richtig, soweit? |
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Hallo, schonmal bis Abakus wieder da ist: Du hast den Buchstaben anders verwendet als Abakus vorgeschlagen hat. Stelle zunächst einmal die Gleichung der Geraden auf, die durch und geht, also . Gruß pwm |
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hallo, ok, hab ich das nicht schon in Zeile 2 schon gemacht? also erstmal brauch ich ja die Steigung und das mache ich da mit und dann setze ich hier in ein... Eine andere Idee hätte ich jetzt nicht. Oder meinst du ? |
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Setz doch in Deine Formel mal ein und und prüfe, ob die gewünschten y-Werte herauskommen |
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so? |
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Geradengleichung aus ergibt sich: Du hast also: Nun den Punkt einsetzen: Damit hast du deine Geradengleichung in Abh. von Du brauchst als nachstes noch die Nullstelle der Geraden, also dein Wert für Nun kannst du den Flächeninhalt minimieren. ;-) |
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ok, danke für die Hilfe. das heißt jetzt nur noch ableiten? wenn ja, dann komme ich auf: |
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. der Flächeninhalt in Abh. von a ist: einsetzen von liefert dir: . . . ;-) |
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wenn ich das ausrechne komme ich auf: und |
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Alternative: Es sei Geradenschar durch Achsenabschnitt auf der x-Achse: Achsenabschnitt auf der y-Achse: ´ Hier gilt nun Gerade: mfG Atlantik |
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@ drmabuse . du kannst nur auf EINE Gleichung kommen, wenn du nach a auflösen must: Diese hat 2 Lösungen: Somit und Das Minimum gibts bei der 2. Lösung: Hast du also den Punkt gegeben muss die Gerade noch durch damit der Flächeninhalt zwischen Gerade und Achsenabschnitten minimal wird! (Dies dekt sich auch mit Antlantiks Beispiellösung! Schau's dir an) Was folgerst du nun aus der Lösung bezüglich ? ;-) |
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dass ich ich jetzt in die formel mx einsetzen muss um ausrechnen zu können? |
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. grrrrrr . schaust du dir das was ich schreibe auch an und versuchst es nachzuvollziehen? Ich habe dir mittlerweise den ganzen Lösungsweg gepostet - du musst ihn nur noch verstehen! Wenn du da irgendwo nicht weiterkommst dann frage nach. Mit diesem a kannst du nun auch berechnen: ;-) |
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Du produzierst hier ein einziges Chaos. Du sollst auch keine Nacherzählung deiner Aufgabenstellung verfassen ( die ich hernach benote ) Weit Sinn voller wäre es, wenn du - etwa mit einem Scanner - das Original Aufgabenblatt hoch lädtst. In deinem Einleitungstext stehen Dinge, die so im O-Ton sicher nicht vorkommen. Du versicherst uns, " groß A und " seien die Achsenabschnitte der Geraden, um sie hernach in der Formel " klein a und " zu benennen . Und " Groß A " ist dann auf einmal die Dreiecksfläche; und nach der zu minimierenden Fläche lösest du auf und setzt es in ein . Du musst allererst noch lernen zu fragen, welchen Sinn dein Vorgehen hat. Es hat auch keinen Sinn, einen zweiten Punkt anzunehmen, weil zwei Punkte ja eindeutig eine Gerade fest legen. Zugegeben; ich führe dir jetzt einen schäbigen Trick Marke Eigenbau vor. Der Punkt im ersten Quadranten dasjenige, was konstant ist - habe Koordinaten Die Achsenabschnitte der ( fallenden ) Geraden seien y-Achsenabschnitt ) und Nullstelle ) Aus dem Strahlensatz leitest du die NB her dies ist wohl die einzige Extremwertaufgabe, wo wir uns Gedanken über die NB machen müssen, bevor dass die Hauptbedingung an die Reihe kommt. Der Schmuddeltrick; ich fasse auf als die absolute Aussage. Wir führen jetzt relative Maße ß und µ ein ß ß µ µ Einsetzen von ( 2ab ergibt Zeichen; immer wenn's am Spannendsten ist ) |
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Also wie gesagt; ( 1.2ab ) einsetzen in µ ß ß µ Fazit: diese abstrakten Modellkoordinaten ß und µ sind offensichtlich dem Problem angemessen; sämttliche Modelle mit konkreten und münden in dieidentische NB Was hat es damit auf sich? Nun im Gegensatz zu dir passe ich Acht, was konstant und was variabel ist. und sind uns gegeben; und die Dreiecksfläche folgt jetzt aus ( 1.2ab ) zu ß µ Ja was bedeuten denn übersetzt in unsere ß-µ-Sprache? Unter ALLEN RECHTECKEN MIT DEM KONSTANTEN UMFANG 2 IST DAS FLÄCHEN GRÖSSTE GESUCHT . Und wie ihr ja alle wisst, lautet die Lösung das Quadrat: ß = µ Wie also ist konkret vorzugehen? Die Koordinaten des Punktes tust du ( grafisch ) projizieren auf Abszisse und Ordinate. Hernach tust du sie nochmal abtragen; die Achsenabschnitte bzw. ergeben das korrekte minimale Dreieck. Diese " minimalste " Gerade könnte man als natürliche Gerade bezeichnen. Denn dem Punkt lässt sich unschwer eine Gerade zuordnen mit Achsenabschnitten bzw. die dann Steigungsmaß besitzt Bereits anschaulich grafisch ist klar: Diese natürliche Gerade erfüllt die NB und verläuft durch . Bei Matelounge unterschrieben sie der Art geniale Lösungen immer mit " TADAAAH " ( Die machen Schleichwerbung für Ideale, obgleich dieses Forum das erste ist, wo eine Aufgabe mit Idealen kommt. ) |
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@gilgamesch4711 Deine Beiträge sind hier mehr als unpassend! Nach den vielen Post's sollte dir eigentlich auffallen, dass der Fragesteller schon mit der einfachen gängigen Herleitungsweise seine Probleme hat. Dann noch eine unübliche Herleitung auf komplett anderem Weg in diese Diskussion einfließen zu lassen ist absolut nicht zielführend ;-) |
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Hmmm. In der Matematik sollten Hausaufgaben immer von solchem Schwierigkeitsgrad sein, dass nach dem Essen Gruppen von Freunden zusammen arbeiten können. Die besseren helfen den schlechten; Ziel ist es, etwas zu verstehen, was mit Routine zu tun hat. Und jetzt zum Präsenzunterricht. Auch hier sollte der Lehrer solche Aufgaben bevorzugen, die das Lernpensum unterstreichen. Da ich behaupte, dass ich hier eigene Ideen umsetze, ist bei dieser Aufgabe durchaus fraglich, ob sich die Studienräte bewusst sind, dass eine adäquate Lösungsstrategie rasch an die Schallmauer stößt. du hast nämlich völlig Recht, wenn du betonst: Auf meinen Trick kommen selbst begabte Schüler durch Nachdenken nicht; natürlich ließ ich mich im allgemeinsten Sinne leiten von Erfahrungen, die ich während des Studiums gemacht hatte. Es handelt sich recht eigentlich um eine Aufgabe aus dem Giftschrank. Weil wenn du sie löst in den naiven Modellkoordinaten - möglichst noch mit konkreten Zahlen - dann lernst du effektiv überhaupt nichts. Es ginge eigentlich nur, wenn ich vorbereitend sage: Ich gebe euch eine Hilfestellung; wir führen jetzt diese ß und µ ein. Selbstironisch zitiere ich den Mausefallenbeweis nach Artur Schopenhauer " Der Herr Lehrer will beweisen, dass die drei Höhen in einem Dreieck sich schneiden. Und zu dem Zweck führt er eine Hilfslinie ein, die man in keinem anderen Zusammenhang benötigt. Und nur weil ich dem Herrn Lehrer das Recht auf seine gefic kten Linien nicht streitig machen kann, schnappt die Mausefalle zu - und der Satz ist bewiesen . " Und meine Mausefalle sind eben ß und µ . Was ich aber an deiner Kritik nicht berstehe. Wenn mich eine Aufgabe wirklich intressiert und ich merke, jemand ist mir über. Ja das ist doch ein Ansporn; da versuche ich doch besser zu sein. Mir noch bessere Tricks auszudenken. Hier ich will dir mal ein Beispiel nennen. Unter dem Volumenproblem will ich verstanden wissen, die Oberfläche bei gegebenem Volumen zu minimieren. Und recht häufig kommt dann das Volumenproblem der Bushaltestelle. Da fing ich dann auch an zu rechnen wie ein Weltmeister. Weil ein Quader, ein geschlossener Kasten wäre ja einfach. Aber die Bushaltestelle hat ja keine Symmetrie. Und da bekam ich auf dem ( fossilen ) Portal Lycos ( dem ich heut noch nachtrauere ) folgenden Kommentar " Gesetzt den fall, das Volumenproblem des Quaders wird durch den Würfel gelöst. ( was stimmt ) " Die Abszisse ( x_Achse ) verlaufe horizontal parallel zur Straße, die Ordinate ( z-Achse ) vertikal und in die Tiefe. " Die Bushaltestelle nenne ich . Dann setze ich in die zur Straße offene xz_Ebene den Spiegel ein. Das Spiegelbild von nenne ich . Ferner lasse ich in den Boden in die xy_Ebene den Spiegel ein, der von das Spiegelbild erzeugt. Jetzt ergeben sich weitere Spiegel im Spiegel; spiegelt sich in . Dieses Bild nenne ich Und erzeugt von das Spiegelbild . Das Bild von ist übrigens mit identisch. Der Kommentar betont: sind kongruent mit dem ursprünglichen und schließen sich mit zum ( geschlossenen ) Quader. Wegen der Kongruenz hat dieser Kasten vierfaches Volumen und vierfache Oberfläche wie die original Bushaltestelle; ihr Volumenproblem kst dem der Bushaltestelle AQUIVALENT . Aus den Spiegeln liest du auch unschwer die Kantenlängen des Quaders ab: so wie . Die Bedingung " Würfel " - und damit die Lösung der Aufgabe Wäre ich Mathelehrer und hätte davon noch nie vernommen. Und ein Schüler präsentiert mir diese Lösung. DAS ist es, was ich sehen will. Und nicht die mechanistischen Umformungen der ewig gleichen Gleichungen . Hier du weißt doch, wer das liebe Heidi ist von Johanna Spüri. Kennst du die Extremwertaufgabe? " Das liiibe Heidi will ihre süüüüßen Häschen in ein Gehege tun. Deshalb pfercht sie sie ein mit Maschendrahtzaun ( Song auf Youtube ) Auf der einen Seite ist natürlich die Mauer zum Nachbargrundstück. " Der Drahtverhau - äh Verbrauch ist zu minimieren. Und? Sind wir helle? Wo lassen wir hier den Spiegel ein? Du siehst; ich bin durchaus lernfähig . |
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. es geht auch rein geometrisch - ohne Rechnerei. Die Fläche ist obligatorisch (schraffierte Fläche). Nun wählt man eine Gerade durch Punkt derart, das 2 kongruente/identische Dreiecke entstehen. Beide Dreiecke zusammen haben auch den Flächeninhalt . Nun sind die beiden Hypothenusen natürlich gleich lang und egal, wie man nun eine weitere Gerade durch Punkt anlegt, so sieht man, dass auf der einen Seite eine Fläche größer als das neue Dreieck A hinzukommt . während auf der anderen Seite eine kleinere Fläche als A verschwindet. Damit ist die Summe der Flächen also gewachsen. Dies passiert anders herum natürlich genauso! Damit ist das Minimum an Fläche mit den Katheten und So, nun ist Zeit für . . . @gilgamesch In der Mathelounge bist du wohl mit anderm Namen "habakuktibatong", aber mit genausolangen Texten present. Was sollen denn eigentlich immer diese ewigen Textpassagen, die größtenteils aber auch garnix mit der Fragestellung zu tun haben? So antwortet in diesem Forum doch keiner! Das ist ja wirklich viel unsinniger Kauderwelsch. Ich möchte dich doch bitten, hier sachbezogen und verständlich auf die Fragen zu antworten. Dieses ewige Textscrollen ist einfach nervig und auf meinem Tablet dauert es dann imer ewig, bis sich alles aufgebaut hat. ;-)  |
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Ich schlage ein neues Bewertungssystem für Posts vor. Als Einheit für die Nutzlosigkeit von Beiträgen könnte man "gilgamesch" wählen. Wenn man noch hinzuzieht, wie sich diese Nutzlosigkeit über kleine oder umfangreiche Antworten verteilt, wäre auch noch "gilgamesch pro (max Zeichen)" oder bei Einbeziehung der dadurch belegten Bildschirmfläche "bspsi" (bullshit per square inch) möglich. |
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alles klar, jetzt hab ich verstanden. Ich bin das nochmal schritt für schritt durchgegangen und habe mir zwischen drin immer notizen gemacht. eine sache verstehe ich aber nicht. warum macht man am anfang aus dem ein a und rechnet nicht mit den gegebenen buchstaben einfach weiter ? @giganschmamensch: ich kann damit nicht viel anfangen. ich will die mathe-klausur nur irgendwie bestehen und nicht mathematik-professor werden. |
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@ gilgamesch Das schöne an Deinen unsäglich langen und fruchtlosen Monologen ist, dass bei Deiner Wort - Diarrhoe Dir dabei nur noch wenig Zeit bleibt, um noch viele andere Fragesteller zu verwirren. |
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. nach diesen vielen Post-Wechseln fällt es schwer, zuzuordnen was du jetzt meinst. Besse wäre in diesem Fall, schriebest du die entsprechende Gleichung oder Term hin, in dem zu a gemacht wird. Was haben wir denn für Buchstaben: sind Parameter und wie Konstanten zu behandeln, denn sie ändern sich nicht und geben die Position eines Punktes an durch den die Gerade laufen soll. Nun gibt es unendlich viele Geraden durch diesen Punkt. Legen wir also eine Gerade fest, welche einen endlichen Flächeninhalt mit den Achsen bilden soll, so scneidet sie die y-Achse bei a und die x-Achse bei . Ändert man ändert sich natürlich auch weil die Gerade ja immer durch gehen muss (Drehpunkt) Man brauch also das garnicht, weil es sich automatisch aus a ergibt. Oder eben umgekehrt. Um die Funtion nun im Koordinatensystem zu beschreiben benötigen wir aber trotzdem noch die Variablen und . In der Geradengleichung müssen also und a vorkommen. Eine Geradengleichung hat die Form Von den Buchstaben und solltest du dich nicht verwirren lassen, statt muss da bei uns später was mit und a stehen, aber wie genau wissen wir ja noch nicht. Mit dem ist es genauso. So, jetzt setzen wir in die Geradengleichung mal ein, was wir von der Gerade wissen. Sie geht auf der y-Achse durch das haben wir so festgelegt), das heißt bei ist . Damit haben wir: Woraus folgt, das ist. Damit ist der erste unliebsame Buchstabe aus unserer Geradengleichung verschwunden. Er diente sozusagen nur als Platzhalter, wie auch . Die Geradengleichung sieht nun also so aus: Nun setzen wir den nächsten gegebenen Punkt ein, nämlich P. Hierst ist und Damit dann: So siehts doch gut aus, denn bis auf ist doch alles gegeben oder wurde von uns definiert. Also stellen wir einfach nach um. So, und dies seten wir jetzt für in die Geradengleichung ein: Dies ist also die von uns gesuchte Funktion der Geradenschar, welche für ein ganz konkretes a auch die Flâche darunter minimiert. Die Fläche unter der Geraden ist also vom Parameter a abhänging. Und diese Fläche haben wir weiter oben schon minimiert. Soweit klar? ;-) |
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Ja, jetzt ist alles klar! |
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