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Extremwertaufgabe
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Extrema
 
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Hallo zusammen, ich steh mal wieder auf dem Schlauch und brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe. Die Aufgaben stehen unten. Extremwertaufgabe 1. Beschreiben Sie die Größe, die extrem werden soll durch einen Term, dieser hängt häufig von mehreren Variablen ab. 2. Bestimmen Sie die Nebenbedinungen. 3. Stellen Sie die Zielfunktion auf. 4. Untersuchen Sie die Zielfunktion auf Extremwerte und formulieren Sie das Ergebnis. Aufgaben: 1) Zerlegen Sie die Zahl 12 so in 2 Summanden, dass die Summe ihrer Quadrate möglichst klein wird. 2) Die Graphen von f und g mit f(x)= 4 - 1/4*x^2 und g(x)= 1/2*x^2 - 2 begrenzen eine Fläche, der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck einbeschrieben wird. Für welche Lage der Eckpunkte wird der Flächeninhalt extremal? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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1) a+b=12 --> b=12-a S=a²+b² S=a²+(12-a)² S=a²+144-24a+a² S=2a²-24a+144 dS(a)/da = 4a-24 4a-24=0 4a=24 a=6 --> b=6 2) Hier braucht man eine Zeichnung. f ist eine nach unten offene Parabel mit Scheitel (0;4), g ist nach oben offen mit Scheitel (0;-2). Das einbeschriebene Rechteck habe die Breite 2a. Seine verikale Seite rechts hat dann die Länge 4-0,25a²-(0,5a²-2) = 6-0,75a² und die Fläche des Rechtecks ist A = 2a*(6-0,75a²) = 12a-1,5a³ Nun bilden wir die Ableitung: dA(a)/da = 12-4,5a² und setzen sie gleich 0: 12-4,5a² = 0 12=4,5a² a²=8/3 a=2/3*SQRT(2) Die Eckpunkte sind also (2/3*SQRT(2);-2/3); (2/3*SQRT(2);10/3); (-2/3*SQRT(2);10/3); (-2/3*SQRT(2);-2/3) GRUSS, DK2ZA |
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Hab mal zwei dumme Fragen. Als erstes versteh ich den Schritt nicht. Wieso subtrahiert man g(x) von f(x) um auf die Länge zu kommen? Sorry ich steh gerade etwas auf dem Schlach Seine verikale Seite rechts hat dann die Länge 4-0,25a²-(0,5a²-2) = 6-0,75a² um auf die Eckpunkte zu kommen muss ich doch a in die f(x) bzw. g(x) einsetzen oder? (2/3*SQRT(2);-2/3); (2/3*SQRT(2);10/3); (-2/3*SQRT(2);10/3); (-2/3*SQRT(2);-2/3) |
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Hallo ich hab mal eine dumme Frage. Ich versteh diesen Schritt nicht. Um auf die Länge zu kommen subtrahiert man g(x) von f(x)? Sorry ich steh gerade etwas auf dem Schlauch Seine verikale Seite rechts hat dann die Länge 4-0,25a²-(0,5a²-2) = 6-0,75a² |
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Genau richtig. Du subtrahierst die untere Kurve von der oberen. Das ergibt die Länge der vertikalen Verbindungsstrecke. GRUSS, DK2ZA |
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Hi, ich verstehe folgendes nicht: dS(a)/da Was meinst du damit? Und wie kommst du bei Aufgabe 2) auf die Gleichung: 4-0,25a²-(0,5a²-2) = 6-0,75a² |
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dS(a)/da bedeutet die Ableitung der Funktion S(a) nach a. Wenn du eine Funktion f(x) hast und diese ableitest schreibst du f'(x) oder df(x)/dx was dasselbe ist. Mit einem Strich ' bezeichnet man immer die Ableitung nach x, mit einem Punkt dagegen die Ableitung nach der Zeit t. Wenn man aber weder nach x noch nach t ableitet (sondern z.B. nach a), verwendet man gewöhnlich die andere Schreibweise. 2) Die Graphen von f und g mit f(x)= 4 - 1/4*x^2 und g(x)= 1/2*x^2 - 2 begrenzen eine Fläche, der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck einbeschrieben wird. Für welche Lage der Eckpunkte wird der Flächeninhalt extremal? Das gesuchte Rechteck hat zwei gleich lange vertikale Seiten, die eine bei x=-a, die andere bei x=+a. Die Seite bei x=a hat diese Länge (das ist keine Geichung!): 4-0,25a²-(0,5a²-2) vereinfacht: 6-0,75a² usw... GRUSS, DK2ZA |
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| Super, danke! |
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