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Extremwertaufgabe Extremwertproblem
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Extremwertaufgabe, Extremwertproblem
 
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Eine Autobahntrasse soll bzgl. eines Koordinatensystems den Verlauf des Graphen der Funktion mit für in km, in km) erhalten. An der Stelle befindet sich ein Haus, dessen Einwohner die Lärmbelästigung fürchten. Ab einer Entfernung von ist der Lärm erträglich. Haben die Bewohner Grund zu klagen? Ich brauche doch dafür die senkrechte Strecke zwischen dem Punkt und dem Graphen? Wenn ja, wie mache ich das? Liebe Grüße Bleibt gesund Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, hier ist ein Link für die Abstandsfunktion: www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/extremwertaufgaben/abstand_punkte_kurve Das ist dann bei dir Ich habe hier die Wurzel weggelassen, da bei der Ableitung mit der Wurzel der Zähler im Prinzip gleich ist wie die Ableitung ohne Wurzel. Ableiten und die Ableitung gleich 0 setzen. Die Gleichung lösen. Gruß pivot |
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Ich brauche doch dafür die senkrechte Strecke zwischen dem Punkt und dem Graphen? Naja, da hast du grundsätzlich schon Recht. Das wäre zumindest eine der Möglichkeiten, diese Aufgabe anzugehen. Mit kannst du ja die Ableitungsfunktion bilden. gibt ja in jedem Punkt der Kurve die Steigung an. Daher ist die Steigung der Normalen in diesem Punkt der negative Kehrwert davon, also . Damit kommst du dann auf die Gleichung der Kurvennormalen in jedem Kurvenpunkt: Und jetzt müsstest du "nur" noch die Stelle finden, für die diese Kurvennormale durch den Angabepunkt läuft. Dummerweise führt das aber auf eine Gleichung vierten Grades, deren einzige positive reelle Lösung zwar exakt angebbar wäre. Allerdings ist sie ziemlich aufwändig zu berechnen und auch hinreichend "unschön". Sie ist ca. . Ich gehe davon aus, dass ihr einen TR mit NSolve Funktion zur Lösung einer derartigen Gleichung benutzen dürft. Damit lässt sich nun auch die y-Koordinaten des Kurvenpunkts, der dem Haus am Nächsten liegt mit ausrechnen und der Abstand dieses Punktes von sollte dann kein Problem mehr sein und ergibt sich mit ca. . Da diese Angaben alle in km sind, wird also der Mindestabstand von Meter eingehalten. Trotzdem ist zu bezweifeln, das die Hausbewohner wirklich keinen Grund zum klagen haben werden ;-) Das wäre nun eine nette Art, diese Aufgabe zu lösen, ohne sie explizit als Extremwertsaufgabe aufzufassen. ABER . die Aufgabe ist vermutlich anders gedacht, worauf auch deine Verschlagwortung als Extremwertsaufgabe hinweist. Nimm einen beliebigen Kurvenpunkt ermittle eine Formel für den Abstand dieses Punktes vom Haus in . Das ist jetzt eine Funktion in und von dieser suchst du das Minimum. Auch das führt auf die gleiche Gleichung vierten Grades in und natürlich solltest du wieder auf kommen. Natürlich kannst du bei dieser Abstandsfunktion die dort auftretende Wurzel zur Rechenvereinfachung weg lassen, denn die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.  |
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@Roman Ich habe heraus, weil ich die Funkion falsch aufgestellt hatte. Sie sollte so aussehen: |
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@pivot In deinem obigen Ansatz betrachtest du nicht Referenzpunkt (1;1), sondern irrtümlich (1;0). Wäre sehr ungünstig für den Hausbesitzer, weil dann das Haus direkt auf bzw. an der Straße liegt... |
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@Hal Ja, habe ich auch gerade gesehen. Wie man schon in den Medien gesehen hat, gibt es sowas im Prinzip auch. Zum Beispiel Straßen die durch Häuser gebaut werden bzw. Häuser die über Straßen gebaut werden. Alles nicht so abwegig. |
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@pivot Ich habe heraus, weil ich die Funkion falsch aufgestellt hatte Tja, all zu schnelles Vorpreschen rächt sich manchmal ;-) Tipp: Wenn du vor Beginn einer Antwort kurz mal mit Strg-R ein Reload der Seite anleierst, siehst du . rechts oben den Hinweis, dass gerade geantwortet wird. Meist ist des dann zweckmäßig, ein wenig zu warten. |
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Wow, danke für die sehr umfangreiche Erklärung und die tolle Grafik!! Ich kann fast alles nachvollziehen. Ich komme auf die Gleichung Wurzel((x-1)^2+(f(x)-1)^2) Aber jetzt habe ich ja 2 Variablen, oder was kann ich für einsetzten? Liebe Grüße und ein großes Danke |
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Aber jetzt habe ich ja 2 Variablen, Ich sehe nur eine, nämlich oder was kann ich für einsetzten? Du hast es doch selbst geschrieben, dass gelten soll, oder? Wenn du das einsetzt, solltest auch du nur mehr eine Variable sehen. |
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Ja oke, das war dumm^^ Danke euch! Eine Frage noch: Warum kann ich bei der Ableitung die Wurzeln einfach weglassen und komme trotzdem auf ? Liebe Grüße und bleibt gesund! |
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Ja oke, das war dumm^^ Danke euch! Eine Frage noch: Warum kann ich bei der Ableitung die Wurzeln einfach weglassen und komme trotzdem auf ? Liebe Grüße und bleibt gesund! |
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Eine Frage noch: Warum kann ich bei der Ableitung die Wurzeln einfach weglassen und komme trotzdem auf ? Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion bzw. der Quadratfunktion Wenn der Abstand (also der Ausdruck mit der Wurze) ein Minimum hat, dann hat das Quadrat davon (also der Ausdruck ohne Wurzel) an der gleichen Stelle ebenfalls ein Minimum. Um dann den konkreten Abstand zu berechnen musst du natürlich in die Formel mit der Wurzel einsetzen. |
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