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Extremwertaufgabe: Gleichschenkliges Dreieck

Schüler Realgymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, Gleichschenkliges Dreieck, Rotationsvolumen

ChuckNorris aktiv_icon

21:08 Uhr, 03.06.2010

Hallo Community,

da gibt es eine Extremwertaufgabe, bei der ich immer eine falsche Lösung rausbekomme:

"Welches gleichschenklige Dreieck(Seiten

a,

Höhe

h,

Grundlinie

c)

vom Umfang

u = 2 s

ergibt bei Drehung um seine Symmetrieachse einen Kegel von maximalem Volumen?"

Mein Ansatz:

Hauptbedingung:

V

des Kegels: ((c/2)²*pi*h)/3

Nebenbedingungen:

Umfang

u = 2 s = c + 2 a

wobei a²=(c/2)²+h²

\Rightarrow

2s=c+2*Wurzel(c/2)²+h²

Wenn ich jetzt

c

von der NB in HB einsetze, den konstanten Faktor

\frac{π}{3}

weglasse, die Zielfunktion ableite und dann mit 0 gleichsetze, kommt bei mir immer Wurzel

(\frac{s}{3})

für

h

raus...

Laut Lösungsbuch soll aber Wurzel 5 durch 5 rauskommen.

Kann mir jemand mal helfen und schauen, wo ich ein Fehler gemacht habe und ob meine Lösung stimmt?

Danke im Voraus!

Chuck

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

21:50 Uhr, 03.06.2010

V (c; h) = \frac{π}{3} \cdot {(\frac{c}{2})}^{2} \cdot h

Desweiteren gilt

2 s = 2 a + c

mit

a = \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}}

also

2 s = 2 \cdot \sqrt{h^{2} + \frac{c^{2}}{4}} + c \Leftrightarrow 2 \cdot \sqrt{h^{2} + \frac{c^{2}}{4}} = 2 s - c

Quadrieren führt zu:

4 (h^{2} + \frac{c^{2}}{4}) = 4 s^{2} - 4 s c + c^{2} \Leftrightarrow 4 h^{2} + c^{2} = 4 s^{2} - 4 s c + c^{2} \Leftrightarrow h = \sqrt{s^{2} - s c}

Dies ersetzt in der Volumengleichung:

V (c) = \frac{π}{3} \cdot \frac{c^{2}}{4} \cdot \sqrt{s^{2} - s c}

Das Volumen ist dann maximal, wenn das Volumen-Quadrat maximal ist:

{[V (c)]}^{2} = E (c) = \frac{π^{2}}{9} \cdot \frac{c^{4}}{16} \cdot (s^{2} - s c) = \frac{π^{2}}{9} \cdot (\frac{c^{4}}{16} \cdot s^{2} - \frac{c^{5}}{16} \cdot s)

E' (c) = \frac{π^{2}}{9} \cdot (\frac{c^{3}}{4} \cdot s^{2} - \frac{5}{16} c^{4} \cdot s) = 0

\frac{c^{3}}{4} \cdot s^{2} = \frac{5}{16} c^{4} \cdot s

c = \frac{4}{5} s (c = 0

ist unrealistisch)

\Rightarrow h = \sqrt{s^{2} - s c} = \sqrt{s^{2} - s \cdot \frac{4}{5} s} = \sqrt{\frac{1}{5} s^{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} s = \frac{\sqrt{5}}{5} s

Hoffe hab mich nirgends verrannt.

Gruß Shipwater

ChuckNorris aktiv_icon

22:00 Uhr, 03.06.2010

Danke erstmal.

"Das Volumen ist dann maximal, wenn das Volumen-Quadrat maximal ist:"

Warum ist das so? Würde das ohne dem Quadrieren denn nicht gehen?

Ich wusste gar nicht, dass man eine Funktion quadrieren kann.

Shipwater aktiv_icon

22:03 Uhr, 03.06.2010

Doch du kannst auch ohne dem Quadrieren arbeiten und die Wurzel ableiten, aber so macht man sich das ganze unnötig schwer (Kettenregel etc.)
Quadrieren darfst du aufgrund der Monotonie der Wurzelfunktion,

d . h

. wenn

x_{1} > x_{2}

dann auch

\sqrt{x_{1}} > \sqrt{x^{2}}

mit

x_{1}; x_{2} \in ℝ_{0}^{+}

ChuckNorris aktiv_icon

22:10 Uhr, 03.06.2010

D . h .,

wenn da keine Wurzel wäre, dann dürfte ich nicht quadrieren, richtig?

x 1 > x 2 \to

streng monoton fallend. Gilt das nur bei fallender Monotonie?

Shipwater aktiv_icon

22:16 Uhr, 03.06.2010

Nein, du darfst immer quadrieren. Ein paar Sachen muss man natürlich schon beachten. Liegt ein Maximum zum Beispiel im negativen Bereich vor, so wird es durch das Quadrieren zu einem Minimum. Ein Minimum analog dazu zu einem Maximum.
Außerdem werden Nullstellen der Ausgangsfunktion auch zu Extremstellen der Quadratsfunktion, diese müsste man dann halt ausfischen. Aber im Grunde kann man sich das Leben damit leichter machen.

ChuckNorris aktiv_icon

22:28 Uhr, 03.06.2010

Ich hätte da noch eine Bitte: Könntest du bitte statt

h

von der NB

c

in HB einsetzen und so weiterrechnen?

Ich habe es bei meinen mehrmaligen Versuchen statt

h \to c

eben deshalb eingesetzt, damit ich die Kettenregel etc. umgehen kann. Aber es hat nicht geklappt und ich wüsste jetzt gerne, warum.

Allerdings verstehe ich es auch, wenn du jetzt keine Lust darauf hast. :-) Würde mich aber natürlich freuen.

Shipwater aktiv_icon

22:34 Uhr, 03.06.2010

Aber es ist doch viel schwerer die Nebenbedingung nach