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Extremwertaufgabe - Halbkreis im Trapez

Universität / Fachhochschule

Tags: Extremwertaufgabe, halbkreis, Trapez

Studi2014 aktiv_icon

20:30 Uhr, 26.05.2014

Hey Leute hab hier eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter weiß...

Die Kuppel einer Halle soll ein halbkreisförmigen Querschnitt (Radius

r)

erhalten. In welchen Punkten berührt das trapezförmige Dach die Kuppel, wenn die Restfläche zwischen Dachschräge und Kuppel minimal werden soll?

Mein Ansatz:
Fläche Trapez:

A = \frac{a + b}{2} \cdot h (h = r)

Fläche Halbkreis: A=1/2*pi*r²

Ich weiß das ich ein paar Unbekannte durch was bekanntes ausdrücken muss, nur komm ich nicht drauf wie. Strahlensatz, Pythagoras ..
Danach einsetzen, 1. Ableitung und Nullsetzen und Prüfen ob die 2. Ableitung

> 0

ist

Soviel zur Theorie.. nur kann ichs praktisch einfach nicht umsetzen

: (

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Raute / Drachenviereck / Trapez

Ma-Ma aktiv_icon

23:03 Uhr, 26.05.2014

ICH kann keine Zeichnung sehen, evtl. stellst Du die Zeichnung in einem anderen Format hier rein?... LG Ma-Ma

Atlantik aktiv_icon

08:18 Uhr, 27.05.2014

Wenn die Restfläche zwischen Dachschräge und Kuppel minimal werden soll, muss das Trapez maximal werden:

Hauptbedingung:

A_{T} (u, h) = \frac{(2 r + 2 u) \cdot h}{2}

soll maximal werden.

Nebenbedingung:

r^{2} = u^{2} + h^{2} \to

nach

h

auflösen und in die Hb einsetzen.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Studi2014 aktiv_icon

10:13 Uhr, 27.05.2014

Hallo Leute,
danke für die Hinweise, bei mir seh ich die Skizze hab sie jedoch nochmal als jpeg Datei hinzugefügt.
Die Aufgabenstellung ist anders @ Atlantik
das Trapez begrenzt den Halbkreis, nicht der Halbkreis das Trapez.
Die Zeichnung hab ich mit dem GeoGebra Tool von onlinemathe.de ursprünglich hinzugefügt. Dafür benötigt man java, egal, jetzt ist sie als jpeg nochmal drin zum besseren Verständnis.
Gesucht sind die Punkte, quasi die Tangente an den Halbkreis, an dem das Trapez den Halbkreis berührt, einmal oben bei

x 0 = r

und dann seitlich rechts und links.

Liebe Grüße, Studi2014

funke_61 aktiv_icon

13:12 Uhr, 27.05.2014

Stell Dir mal vor, das Trapez wäre aus drei Dreiecken aufgebaut.

Das mittlere Dreieck "steht auf der Spitze" und hat die Höhe

r

.
Das rechte und das linke Dreieck sind spiegelsymmetrisch "angefügt" und haben ebenfalls

r

als Dreieckshöhe. Alle drei Dreieckshöhen schneiden sich im Mittelpunkt des gegebenen Halbkreises.

So hast Du noch zwei verschiedene Dreiecks-Grundlinien als Unbekannte, Da wohl

r

als gegebene Konstante bertachtet werden kann.
Wir brauchen so nur noch eine Beziehung zwischen der "kurzen oberen Trapezseite"

b

und den beiden schrägen Trapetzseiten (ich nenne beide

c,

da sie gleich lang sind).
Eine mögliche Beziehung geht über die "Innenwinkel"

β

(liegt im mittleren Dreieck der Seite

b

gegenüber)
und

γ

(liegen in den spiegelsymmetrischen Dreiecken den Seiten

c

gegenüber)
also:

β + 2 γ = 180

°
und entsprechende Winkelfunktionen.

Ich bin mir aus dieser Anschaung relativ sicher, dass das gesuchte Trapez mit der kleinsten Fläche aus drei kongruenten gleichseitigen Dreiecken mit der Höhe

r

aufgebaut ist. Also sollte das Ergebnis

β = \frac{π}{3} = 60

° sein
;-)

funke_61 aktiv_icon

14:07 Uhr, 27.05.2014

zur Kontrolle: Als Zielfunktion

A = A_{T r a p e t z} - A_{K r e i s}

erhalte ich auf diesem Weg

A = r^{2} (tan (\frac{β}{2}) + 2 \cdot tan (\frac{π - β}{4}) - \frac{π}{2})

(eigentlich kann hier das

r^{2}

schon vernachlässigt werden, da es keinen Einfluß mehr auf das Minimum von A hat).
Abgeleitet ergibt sich:

\frac{d A}{d β} = r^{2} (\frac{1}{{cos}^{2} (\frac{β}{2})} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{{cos}^{2} (\frac{π - β}{4})} \cdot (- \frac{1}{4}))

und damit

\frac{1}{2 {cos}^{2} (\frac{β}{2})} - \frac{1}{2 {cos}^{2} (\frac{π - β}{4})} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2 {cos}^{2} (\frac{β}{2})} = \frac{1}{2 {cos}^{2} (\frac{π - β}{4})} \Rightarrow \frac{β}{2} = \frac{π - β}{4} \Rightarrow β = \frac{π}{3} =

60°
Da die Berührpunkte der Seite

c

mit dem Halbkreis suchst, findest Du sie beim "Innenwinkel"

\frac{γ}{2} = \frac{β}{2} = \frac{π}{6} =

30°
am Halbkreisumfang und spiegelsymmetrisch dazu auf der "anderen Seite".
;-)

Stephan4

17:32 Uhr, 27.05.2014

Interessantes Beispiel!
Ich würde auch gern mit raten.

Studi schreibt um

10 : 13 h :

"das Trapez begrenzt den Halbkreis, nicht der Halbkreis das Trapez."
Das bedeutet, das Trapez ist gegeben, und der Halbkreis ist gesucht.

Dann schreibt Studi weiter:
"Gesucht sind die Punkte, quasi die Tangente an den Halbkreis"
Also ist der Halbkreis gegeben? Oder wie oder was?

Bitte um Aufklärung.

Studi2014 aktiv_icon

18:42 Uhr, 27.05.2014

Hmm ich finde das es eigentlich verständlich ist, wenn man sich die Aufgabe durchliest.
Gegeben ist eine "Kuppel" = Halbkreis, mit dem Radius "r"

< -

gegeben
Gesucht sind die Punkte an denen das trapezförmige Dach die Kuppel(Halbkreis) berührt, wenn die Fläche zwischen Dachschräge und Kuppel minimal werden soll.

Vielen Dank funke_61 für deine Hilfe, das mit den Dreiecken werde ich mir jetzt mal genauer betrachten hört sich aber gut an

=)

Ich bin mit dem Pythagoras nochmal an die Aufgabe gegangen und bin auf folgende lösung gekommen.

Tangente an Kreis

P (x 0, y 0)

r²=x²+y²
x0²+y0²=r²

(2)

Tangente 1 schneidet meine Gerade (Seite a des Trapez)

y = r

im Punkt (xS,r)
mit xS*x0+r*y0=r²

\to

xS= (r²-r*y0)/x0

Tangente hat eine Nullstelle xN= r²/x0 somit hab ich meine Seite

\frac{a}{2}

und

\frac{b}{2}

berechnet,
jetzt kann man die längen in die Formel fürs Trapez A(x0)=1/2*(xN+xS)*r einsetzen und mit Gleichung 2 kann ich mein

y 0

noch ersetzen, dann hab ich eine Gleichung mit nur einer Unbekannten

x 0

nach der ich ja ableiten kann.

Sorry das ich kein Formeleditor nutze, funktioniert bei mir nicht

\frac{:}{}

Deshalb erspare ich mir jetzt die Ableitungen etc hinzuschreiben,
am Ende komm ich auf meine Schnittpunkte

x 0 = (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot r

und

y 0 = \frac{r}{2}

Analog gegenüberliegen

x 0 = - (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot r

und

y 0 = - \frac{r}{2}

Deine Lösung mit den Winkeln werde ich mir jetzt mal genauer anschauen

in diesem Sinne, frohes Lernen...

\frac{:}{}

Und vielen Dank für die tollen Ideen :-)

funke_61 aktiv_icon

19:31 Uhr, 27.05.2014

ja, insbeondere Dir wünsch' frohes Lernen :-)
Noch ein Tipp: wenn Du den Firefox verwendest, klappt es auch mit dem Formeleditor.
;-)

Stephan4

20:07 Uhr, 27.05.2014

Annahme:

φ

ist der Winkel vom

O

aus, auf dem der Tangentenpunkt

T

liegt.
Verwinfachte Schreibweise:

c := cos φ

s := sin φ

T (r c | r s)

Höhe des Trapezes:

r

Länge der Basisseite des Trapezes:

\frac{2 r}{c}

Die Tangente neigt sich mit dem selben Anstieg, nur im rechten Winkel. Daher ist der x-Wert des oberen Eckpunkts um

r \cdot tan φ

verschoben.

Daher:
Länge der Dachseite des Trapezes:

\frac{2 r}{c} - 2 r \frac{s}{c} = \frac{2 r}{c} (1 - s)

Fläche Trapez - Halbkreis:

A = \frac{\frac{2 r}{c} + \frac{2 r}{c} (1 - s)}{2} \cdot r - \frac{r^{2} \cdot π}{2} = \frac{r^{2}}{c} \cdot (2 - s) - \frac{r^{2} \cdot π}{2}

A' = \frac{r^{2} s}{c^{2}} \cdot (2 - s) - \frac{r^{2}}{c} \cdot c = 0 | : r^{2}

\frac{s \cdot (2 - s)}{c^{2}} = 1

s = 0,5

c = \frac{\sqrt{3}}{2}

phi=30°

Länge der Basisseite des Trapezes:

\frac{2 r}{c} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} r

Länge der Dachseite des Trapezes:

\frac{2 r}{c} (1 - s) = \frac{4 \sqrt{3}}{3} r \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} r

Fläche des Trapezes:

A = (\frac{4 \sqrt{3}}{3} r + \frac{2 \sqrt{3}}{3} r) \cdot \frac{r}{2} = \sqrt{3} r^{2}

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