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Extremwertaufgabe (Kegel in Kugel)

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben, Mathematik

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21:52 Uhr, 10.03.2015

Einer Kugel vom Radius

R

ist ein Kegel von größtem Volumen einzuschreiben. Berechne den Radius

r

und die Hohe

h

des Kegels!

Ich hab es schon 20mal versucht, doch komme nie auf das richtige Ergebnis... könnte mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Werner-Salomon aktiv_icon

22:08 Uhr, 10.03.2015

Sollst Du die Aufgabe mit Nebenbedingung lösen?

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22:10 Uhr, 10.03.2015

Ja mit Neben und Hauptbedingung

Werner-Salomon aktiv_icon

22:15 Uhr, 10.03.2015

Ok - ich stelle mal eine Skizze ein, damit wir über die gleiche Sache reden. Die Skizze stellt einen Schnitt durch Kegel und Kugel dar.

Die Hauptbedingung ist doch einfach. Bloß das Kegelvolumen:

V = \frac{1}{3} h π r^{2}

r

ist der Radius der Grundfläche - z.B.

A_{1} B

und

h

ist die Höhe des Kegels - hier

B S

.. fällt Dir eine Nebenbedingung ein?

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22:15 Uhr, 10.03.2015

Hi,

ähnliche Aufgabe wurde gerade gelöst. Prinzip ist hier dasselbe. Schau dir mal auf der Startseite
den Eintrag Extremwertproblem an.

Gruß

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22:16 Uhr, 10.03.2015

Satz vom Phytagoras vielleicht?

Werner-Salomon aktiv_icon

22:17 Uhr, 10.03.2015

Ja - und in welchem Dreieck?

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22:18 Uhr, 10.03.2015

R^{2} = {(\frac{h}{2})}^{2} \cdot r^{2}

Werner-Salomon aktiv_icon

22:21 Uhr, 10.03.2015

.. ich unterstelle, Du meinst das Dreieck

M B A_{2}

- der Ausdruck

\frac{h}{2}

ist falsch. Wie lang ist

M B

- als Funktion von

R

und

h

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22:23 Uhr, 10.03.2015

Hauptbedingung stimmt. Für die Nebenbedingung nutze Satz von Euklid.

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22:23 Uhr, 10.03.2015

{(h - R)}^{2}

vlt?

Werner-Salomon aktiv_icon

22:26 Uhr, 10.03.2015

richtig (schon quadriert), und wie heißt dann die vollständige Nebenbedingung?

0 = . . . ?

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22:26 Uhr, 10.03.2015

Aus dem Satz von Euklid folgt:

r^{2} = 2 R h - h^{2}

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22:28 Uhr, 10.03.2015

Könntest du mir kurz erklären warum das so ist? Ich komme da nicht mit

Werner-Salomon aktiv_icon

22:29 Uhr, 10.03.2015

Satz von Euklid: "Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt."
s. de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid

Du meinst Pythagoras

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22:30 Uhr, 10.03.2015

Danke! Und wie komme ich jetzt weiter?

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22:33 Uhr, 10.03.2015

Ich meinte die Höhen- und Kathetensätze von Euklid. Die Gleichung oben folgt aus:

r^{2} = h (2 R - h)

.

Gruß

Werner-Salomon aktiv_icon

22:35 Uhr, 10.03.2015

Nach Pythagoras ist

R^{2} = (h - R)^{2} + r^{2}

.
Umgeformt ergibt sich die Nebenbedingung:

0 = h^{2} - h R + r^{2} = N

.. und nun die übliche Vorgehensweise:

Λ (h, r, λ) = V + λ \cdot N

Einsetzen:

Λ (h, r, λ) = \frac{1}{3} h π r^{2} + λ \cdot (h^{2} - h R + r^{2})

und nun nach

r

h

und

λ

ableiten und zu 0 setzen.

Kommst Du zurecht?

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22:38 Uhr, 10.03.2015

JA! Vielen Dank für die Hilfe :-))

PhantomV aktiv_icon

22:40 Uhr, 10.03.2015

Es geht auch einfacher. Setze einfach das r² wie ich es oben aufgeschrieben habe in die
Volumenformel für den Kegel. Damit hängt das Volumen nur noch von h ab. Eine Funktion einer Veränderlichen.

Werner-Salomon aktiv_icon

22:45 Uhr, 10.03.2015

@PhantomV: Du hast Recht. Deshalb war auch meine erste Frage nach der Nebenbedingung.
Die Aufgaben in der Schule sind nun mal zu einfach, als das der Lagrange was bringt.
Aber so weit ich das weiß, sollen die Schüler eben genau das üben.

Gruß
Werner

PhantomV aktiv_icon

22:48 Uhr, 10.03.2015

Wenn natürlich Lagrange bekannt ist und geübt werden soll, dann sollte man das auch mit den Methoden machen. Mir war nur nicht klar dass das schon in Schule gemacht wird.

Gruß PhantomV

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22:49 Uhr, 10.03.2015

Tut mir Leid aber könnten Sie es mir aufschreiben?

Werner-Salomon aktiv_icon

23:04 Uhr, 10.03.2015

Λ (h, r, λ) = \frac{1}{3} h π r^{2} + λ (h^{2} - 2 h R + r^{2})

Achtung: ich habe in meinem vorletzten Beitrag die '

2

' vor

2 h R

unterschlagen.

\frac{δ}{δ h} = \frac{1}{3} π r^{2} + λ (2 h - 2 R) = 0

\frac{δ}{δ r} = \frac{2}{3} h π r + 2 λ r = 0

\frac{δ}{δ λ} = h^{2} - 2 h R + r^{2} = 0

.. letzteres ist natürlich wieder die Nebenbedingung
Aus der zweiten Gleichung bestimme ich das

λ

λ = \frac{- 1}{3} h π

Einsetzen in die erste Gleichung:

\frac{1}{3} π r^{2} + \frac{- 1}{3} h π (2 h - 2 R) = 0

r^{2} = h (2 h - 2 R)

h (2 h - 2 R) - r^{2} = 0

addiere ich zur Nebenbedingung, so dass das

r^{2}

raus fällt

h (h - 2 R) + h (2 h - 2 R) = 0

h = \frac{4}{3} R

Gruß
Werner

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