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Extremwertaufgabe: Minimaler Abstand 2 Funktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Abstand, Differentiation, Extremwertaufgabe

Najeb aktiv_icon

17:08 Uhr, 23.01.2018

Hallo,
kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?:
"Gegeben ist die Funktion

y = x^{2} + 1

.
Berechne den minimalen Abstand zwischen der Funktion & der Umkehrfunktion."

Das heißt ich bilde erstmal die Umkehrfunktion:

y = x^{2} + 1

x = y^{2} + 1

x - 1 = y^{2}

\pm \sqrt{x - 1} = y

Beim Abstand lässt man das negative weg (ich weiß ist schlecht formuliert):

y = \sqrt{x - 1}

Also habe ich 2 Funktionen:

y_{1} = x^{2} + 1

und

y_{2} = \sqrt{x - 1} \to

Somit die beiden Punkte

P_{1} = (x, x^{2} + 1)

und

P_{2} = (x, \sqrt{x - 1})

.

Nun könnte ich die Werte in folgender Formel einsetzen, was aber zu keiner Lösung führt - da ich bei beiden Gleichungen kein

x

gegeben habe:

d (x, y) = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Also dachte ich mir, dass ich bei einem Punkt den

x -

und y-Wert vertausche, also:

y_{1} = x^{2} + 1

und

y_{2} = \sqrt{x - 1} \to P_{1} = (x, x^{2} + 1)

und

P_{2} = (\sqrt{x - 1}, y)

. Und anschließend dann in die obige Formel einsetze, dann die 1. Ableitung

= 0

setze. Macht das Sinn?

Alternativ könnte man ja auch eine Differenzfunktion bilden, sprich

d (x) = y_{1} - y_{2} = (x^{2} + 1) - \sqrt{x - 1}

? Dann 1. Ableitung von

d (x) = 0

setzen?

Welcher Ansatz ist richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade

abakus

17:14 Uhr, 23.01.2018

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Graphen steht auf beiden Graphen senkrecht.
Da Graph von Funktion und Umkehrfunktion an der Geraden y=x gespiegelt sind, steht diese kürzeste Verbindung senkrecht auf y=x und hat somit den Anstieg -1.
Suche also den Punkt von f mit dem Normalenanstieg -1 (was bedeutet, dass der Tangentenanstieg +1 sein muss).

abakus

17:34 Uhr, 23.01.2018

Was deine eigenen Ansätze betrifft: Differenzfunktion minimieren ist Unfug, weil die Differenzfunktion den Abstand "von unten nach oben", also bei identischer x-Koordinate, berechnet.
Die beiden zueinander nächstliegenden Punkte liegen jeweils auch am nächsten an der Spiegelgerade y=x und haben vertauschte Koordinaten.

Wenn schon, dann musst du den Abstand zwischen (x, x²+1) und (x²+1,x) minimieren.

(Dieses Minimum liegt bei x=0,5 vor.)

Najeb aktiv_icon

21:15 Uhr, 23.01.2018

Danke für eure Antworten.

"Wenn schon, dann musst du den Abstand zwischen

(x,

x²+1) und (x²+1,x) minimieren.

(Dieses Minimum liegt bei

x = 0,5

vor.)"

Also brauche ich die Umkehrfunktion gar nicht berechnen?
Ist das immer so, wenn man den Abstand von einer Funktion und seiner Umkehrfunktion berechnen muss?

michaL aktiv_icon

21:29 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

das ganze ist ja symmetrisch zur Winkelhalbierenden

y = x

. (Ist hoffentlich klar, oder?)
Das ist bedeutsam, weil du damit nur den Abstand zur Winkelhalbierenden zu berechnen brauchst und diesen Abstand nur verdoppeln musst.
Warum ist es einfacher, Abstände zu einer Geraden zu berechnen?
Wenn dir klar wird, dass Abstände was mit "senkrecht zu" zu tun haben, kannst du zur Winkelhalbierenden senkrechte Geraden durch

(x ∣ f (x))

mit

f (x) := 1 + x^{2}

mit der Mittelsenkrechten schneiden. Das ergibt einen Punkt

(s (x) ∣ s (x))

. Das Doppelte des Abstanda von

(x ∣ f (x))

(s (x) ∣ s (x))

ist eine Funktion, die du minimieren willst.

Wenn diese "Abkürzung" nicht erlaubt ist, melde dich noch einmal.

Mfg Michael

PS: Sorry, habe nicht gesehen, dass es schon antworten gab...

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