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Extremwertaufgabe: Pyramide

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Extremweraufgabe, Pyramide

anonymous

20:40 Uhr, 06.04.2018

Aufgabe: Die Kanten von der Ecke zur Spitze einer Pyramide mit quadratförmiger Grundfläche haben alle die Länge

l = 1, 5 c m

. Bestimmen sie Höhe h der Pyramide und das Volumen, sodass das Volumen maximal ist.
1. Hauptbedingung: Das Volumen der Pyramide

⊳ V (a + h) = \frac{1}{3} * a^{2} * h

2. Nebenbedingung: Die Grundfläche

⊳ k = \sqrt{1, 5^{2} - h^{2}} \Rightarrow a^{2} = {\sqrt{\sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}}}^{2} + {\sqrt{\sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}}}^{2}

3. Zielfunktion:

V (h) = \frac{1}{3} * {\sqrt{\sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}}}^{2} + {\sqrt{\sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}}}^{2} * h

Ist das selbe wie:

V (h) = - \frac{2}{3} * h^{3} + 1, 5 h

Nun die Frage: Wie sind die auf die obere Gleichung gekommen ?

Ich bin so vorgegangen:

a = {\sqrt{\sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}}}^{2} + {\sqrt{\sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}}}^{2} = (1, 5^{2} - h^{2})^{\frac{1}{4}} + (1, 5^{2} - h^{2})^{\frac{1}{4}}

a^{2} = (1, 5^{2} - h^{2})^{\frac{1}{4}} + (1, 5^{2} - h^{2})^{\frac{1}{4}} * (1, 5^{2} - h^{2})^{\frac{1}{4}} + (1, 5^{2} - h^{2})^{\frac{1}{4}} = 4 * \sqrt{1, 5^{2} - h^{2}}

Also kann man auch schreiben:

V (h) = \frac{1}{3} * 4 * \sqrt{1, 5^{2} - h^{2}} * h

So stimmt anscheinend meine Zielfunktion nicht. Wo habe ich einen Fehler gemacht ?

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

abakus

20:53 Uhr, 06.04.2018

Die haben vor allem Klammern vergessen.
1/3 wird nicht nur mit dem Quadrat der ersten Wurzel, sondern mit der Summe der Quadrate der beiden (auch noch gleichen) Wurzeln multipliziert.
Mache dir aber vor allem klar dass a²=2k² gilt,
also ist a² direkt 2*(1,5²-h²).

Atlantik aktiv_icon

13:20 Uhr, 07.04.2018

Alternativer Lösungsweg mit Verwendung des Tipps von abakus:

Die Diagonale

(d)

eines Quadrats ist

d = a \cdot \sqrt{2} \to \frac{d}{2} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2}

N B :

l^{2} = h^{2} + {(\frac{a}{2} \cdot \sqrt{2})}^{2}

l^{2} = h^{2} + \frac{a^{2}}{2} \to a^{2} = 2 l^{2} - 2 h^{2}

l = 1,5 c m

a^{2} = 4,5 - 2 h^{2}

H B :

V (a, h) = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h

soll maximal werden

V (h) = \frac{1}{3} (4,5 - 2 h^{2}) \cdot h = 1,5 h - \frac{2}{3} h^{3}

[1,5 h - \frac{2}{3} h^{3}]

= 1,5 - 2 h^{2}

1,5 - 2 h^{2} = 0

h = \sqrt{0,75} c m

a^{2} = 4,5 - 1,5 = 3

a = \sqrt{3} c m

V = \sqrt{0,75} c m^{3}

mfG

Atlantik

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