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Extremwertaufgabe Pyramide

Universität / Fachhochschule

Tags: Leider versteh ich die Aufgabe nicht und bräuchte Unterstützung ich muss die Aufgabe nächste Woche a

anonymous

13:55 Uhr, 24.11.2020

Vier Stangen von jeweils $4 m$ Länge sollen das Gerüst eines Zeltes in Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche bilden. Gesucht ist das Zelt mit dem größten Volumen. Stellen Sie das Volumen als Funktion in Abhängigkeit von
$(a)$ der Grundkante $a, (b)$ der Höhe $h,$
$(c)$ dem Neigungswinkel α dar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

14:03 Uhr, 24.11.2020

.
..steht ja alles da, was du machen sollst .. also $\to . .$ .

hast du bei irgend einem Schritt ein Problem entdeckt? da helfen wir gerne

oder bist du einfach zu faul, selbst was zu denken und zu machen ? ..dann ist dir nicht zu helfen..

:-)

anonymous

14:06 Uhr, 24.11.2020

Nein das Problem ist ich weiß nicht wie ich voran gehen soll das hat nichts mit Faulheit zu tun überlege schon seit. 2 Tagen und komme nicht voran.

rundblick aktiv_icon

14:16 Uhr, 24.11.2020

.
Student? Studentin?
mach dich doch mal auf die Suche um herauszufinden, was eine gerade, quadratische Pyramide ist..
.. und wie eine solche (voll beschriftet) wohl aussieht ..
dazu darfst du keine zwei Tage / Nächte brauchen .. sollte doch subito erledigt sein ?
dann sieht Mann weiter ..
.

anonymous

15:04 Uhr, 24.11.2020

Okey

Enano

17:03 Uhr, 24.11.2020

Zu welchem Ergebnis bist du denn gekommen?

funke_61 aktiv_icon

13:33 Uhr, 27.11.2020

Hallo,
die ursprüngliche Fragerin hat zwar kein Interesse mehr an dieser Aufgabe. Ich finde diese Extremwertaufgabe aber interessant und habe mal versucht sie zu lösen:
(a)
Pyramidenvolumen mit rechteckiger Grundfläche aus der Formelsammlung:
$V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} a b h$
Da es sich um eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche handeln soll:
$V = \frac{1}{3} a^{2} h$
$(b)$
Schneidet man die Pyramide vertikal und längs einer Diagonale der Grundfläche so entsteht als Schnittfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Grundlinie $a \sqrt{2}$ und den zwei "Stangen" mit der Länge $l = 4 m$ aus der Angabe.
Teilt man dieses gleichseitige Dreieck an der Pyramidenhöhe $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke so ergibt sich der Neigungswinkel $α$ einer Stange zu
$cos α = \frac{\frac{a}{2} \sqrt{2}}{l} = \frac{a}{8} \sqrt{2}$
Dies gibt die Grundseite $a$ als Funktion von $α$
$a (α) = \frac{8}{\sqrt{2}} cos α$

Mit Pythagoras ergibt sich im gleichen rechtwinkligen Dreieck
$h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{a}{2} \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{16 - \frac{a^{2}}{2}}$
mit $a (α)$ ergibt sich daraus (nach Vereinfachung) $h (α)$ als
$h (α) = 4 \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$

$a (α)$ und $h (α)$ eingesetzt in das Pyramidenvolumen $V$ ergibt
$V (α) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{8}{\sqrt{2}} cos α)}^{2} \cdot 4 \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$
$V (α) = \frac{128}{3} {cos}^{2} α \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$
$V (α) = \frac{128}{3} {cos}^{2} α \cdot sin α$
Dies wäre das Ergebnis von Aufgabe $(b)$ sofern ich mich nicht verrechnet habe.

$V_{M a x}$ muss sich an einer wagrechten Tangente des Graphen der Funktion $V (α)$ befinden.
Nach $α$ (mit Produktregel und Kettenregel) abgeleitet ergibt
$\frac{d V (α)}{d α} = \frac{128}{3} ({cos}^{3} α - 2 cos α {sin}^{2} α) = \frac{128}{3} cos α ({cos}^{2} α - 2 {sin}^{2} α)$
In dieser Ableitung können nur die Terme
$cos α$ und $({cos}^{2} α - 2 {sin}^{2} α)$
Null ergeben.
In diesem geometrischen Problem ist es ausreichend für $α$ nur das Intervall $0 \leq α \leq \frac{π}{2} =$ 90° zu betrachten (bei $α = 0$ lägen die Stangen am Boden und bei $α = \frac{π}{2} =$ 90° ständen sie senkrecht, was beides ein (minimales) Pyramidenvolumen von Null ergäbe.
$cos α = 0$ ergibt das Minimum bei $α = \frac{π}{2} =$ 90°
${cos}^{2} α - 2 {sin}^{2} α = 0$
${cos}^{2} α - 2 (1 - {cos}^{2} α) = 0$
$3 {cos}^{2} α = 2$
${cos}^{2} α = \frac{2}{3}$
ergibt das Maximum bei $α = a r c cos (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}) \approx$ 35,26°
$V_{m a x} = \frac{128}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{256}{9 \sqrt{3}}$ bei $α = a r c cos (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})$

Daneben ist das Volumen als Funktion der Grundseite $a$
$V (a) = \frac{1}{3} a^{2} \sqrt{16 - \frac{a^{2}}{2}}$
Auf diesem Weg ergibt sich das gleiche $V_{m a x} = \frac{256}{9 \sqrt{3}}$ bei $a = \frac{8}{\sqrt{3}}$
Als entsprechende Pyramidenhöhe finde ich $h_{V_{m a x}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

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