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Extremwertaufgabe: Quader in Pyramide

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Differentialgeometrie, Extremwertaufgaben

Traxan aktiv_icon

18:45 Uhr, 15.03.2010

Hallo Leute!

Habe ne Frage zu den Extremwertaufgaben...

Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Einer geraden quadratischen Pyramide mit de Grundkantenlänge a und der Höhe

h

soll ein quadratisches Prisma mit möglichst großem Volumen eingeschrieben werden. Berechne das Volumen des Prismas. Welchen relativen Anteil am Volumen der Pyramide macht das Volumen des Prismas aus?

Also. Hauptbedingung müsste so aussehen:

HB:

V (x, y) =

x²*y

Wie stelle ich jetzt die Nebenbedingung auf?

Lg, Traxan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Mathebutler aktiv_icon

10:28 Uhr, 16.03.2010

Hast Recht, deine Zielfunktion sieht gut aus.

Die Aufgabe hat es echt in sich!

Auf jeden Fall können hier die Strahlensätze weiterhelfen.

Habe mal verschiedene Ansichten des Problems skizziert (siehe Bild).

Bei Wikipedia habe ich zumindest schonmal eine Formel für die Seitenlänge

s

gefunden:

s=WURZEL(h^2+a^2/2)

Edddi aktiv_icon

12:58 Uhr, 16.03.2010

Volumen des Quaders:

V = a_{Q}^{2} \cdot h_{Q}

Nebenbedingung

(s

. Bild 2 meines Vorredners):

\frac{h}{a} = \frac{h - h_{Q}}{a_{Q}}

und somit:

a_{Q} (h_{Q}) = \frac{h - h_{Q}}{h} \cdot a = (1 - \frac{h_{Q}}{h}) \cdot a

Dies in unsere Volumenformel eingesetzt ergibt:

V = a_{Q}^{2} \cdot h_{Q}

V = {((1 - \frac{h_{Q}}{h}) \cdot a)}^{2} \cdot h_{Q}

V = {(1 - \frac{h_{Q}}{h})}^{2} \cdot a^{2} \cdot h_{Q}

V = (1 - 2 \cdot \frac{h_{Q}}{h} + \frac{h_{Q}^{2}}{h^{2}}) \cdot a^{2} \cdot h_{Q}

V = a^{2} \cdot h_{Q} - 2 \cdot a^{2} \cdot \frac{h_{Q}^{2}}{h} + a^{2} \cdot \frac{h_{Q}^{3}}{h^{2}}

V (h_{Q}) = \frac{a^{2}}{h^{2}} \cdot h_{Q}^{3} - \frac{2 \cdot a^{2}}{h} \cdot h_{Q}^{2} + a^{2} \cdot h_{Q}

Maximum für Volumen über:

V' (h_{Q}) = \frac{3 \cdot a^{2}}{h^{2}} \cdot h_{Q}^{2} - \frac{4 \cdot a^{2}}{h} \cdot h_{Q} + a^{2} = 0

h_{Q}^{2} - \frac{4}{3} \cdot h \cdot h_{Q} + \frac{h^{2}}{3} = 0

{(h_{Q} - \frac{2}{3} \cdot h)}^{2} - \frac{4}{9} \cdot h^{2} + \frac{3}{9} h^{2} = 0

...so...weiter helf' ich jetzt nicht, das ist jetzt schon schön einfach.

;-)

Traxan aktiv_icon

13:34 Uhr, 16.03.2010

Danke euch!

Habe das Prinzip jetzt verstanden :-)

lg, Traxan

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