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Extremwertaufgabe Rechteck mit drei Seiten

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Umfang

Bienchen18 aktiv_icon

14:48 Uhr, 28.02.2010

Aufgabe: Ein Schäfer benötigt für seine Schafherde einen rechteckigen Pferch mit einem Flächeninhalt von

500 m^{2}

. Wie soll er die Maße des Rechtecks wählen, damit für die Umzäunung möglichst wenig Material benötigt wird, wenn eine Rechteckseite von einem Bach gebildet wird?

Lösungsansätze:

A = x \cdot y = 500 m^{2}

U = x + 2 \cdot y

Leider war ich längere Zeit krank und versuche ein paar Aufgaben zu rechnen, damit ich wieder auf dem aktuellen Stand bin. Aber von Extremwertaufgaben habe ich gar keine Ahnung und würde mich sehr über jegliche Hilfe freuen, diese Aufgabe zu lösen.Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

14:52 Uhr, 28.02.2010

Durch die Nebenbedingung kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken und das dann in der Hauptbedingung ersetzen.

Bienchen18 aktiv_icon

15:00 Uhr, 28.02.2010

mhhh, ich weiß nicht ganz genau, wie ich das mache??:(

Shipwater aktiv_icon

15:01 Uhr, 28.02.2010

500 = x \cdot y

Das kannst du doch nach einer der Variablen lösen, oder?

Bienchen18 aktiv_icon

15:04 Uhr, 28.02.2010

ahh, also

s :

U = \frac{500}{y} + 2 \cdot y

michael777 aktiv_icon

15:14 Uhr, 28.02.2010

jetzt ganz normal ableiten und nullsetzen

Bienchen18 aktiv_icon

15:24 Uhr, 28.02.2010

Wenn ich ableite bleibt es dann nicht so??

also:

f' (x) = \frac{500}{y} + 2 y

ich weiß nicht genau wie ich das ableiten soll...

Shipwater aktiv_icon

15:25 Uhr, 28.02.2010

U (y) = \frac{500}{y} + 2 y = 500 y^{- 1} + 2 y

Und nun leite ganz einfach nach Faktor- und Potenzregel ab.

michael777 aktiv_icon

15:29 Uhr, 28.02.2010

deine Funktion heisst nicht

f (x)

sondern

f (y)

du musst also

f' (y)

ausrechnen

oder gleich mit

U (y)

bezeichnen wie es shipwater gemacht hat

Bienchen18 aktiv_icon

15:29 Uhr, 28.02.2010

Also hast du das schon abgeleitet jetzt oder nur vereinfacht geschrieben? Sorry, ich bin gerade etwas vewirrt;-)

ohja, michael777, hab ich auch gerade eben bemerkt;-)

michael777 aktiv_icon

15:30 Uhr, 28.02.2010

er hat

U (y)

nur umgeformt, damit es sich leichter ableiten lässt

Bienchen18 aktiv_icon

15:32 Uhr, 28.02.2010

Als abgeleitet würde es dann so sei, oder?

U' (y) = - 500^{- 2} + 2 y

michael777 aktiv_icon

15:33 Uhr, 28.02.2010

U' (y) = - 500 y^{- 2} + 2

Shipwater aktiv_icon

15:33 Uhr, 28.02.2010

Wohin ist das

y

vom ersten Summanden verschwunden und warum leitest du den zweiten Summanden nicht ab?

Bienchen18 aktiv_icon

15:41 Uhr, 28.02.2010

achso okay, dann ist

y^{0} = 0

oder? hab mich da vertan...
was muss ich denn jetzt weiter machen?

danke übrigends für dich geduld, ich bin immer ein bisschen langsam, bis ich es geblickt habe;-)

michael777 aktiv_icon

15:42 Uhr, 28.02.2010

y^{0} = 1

deshalb gibt

2 y

abgeleitet

2 \cdot 1 = 2

Shipwater aktiv_icon

15:43 Uhr, 28.02.2010

"was muss ich denn jetzt weiter machen?"

Nullstellen der ersten Ableitung (=mögliche Extremwerte) ermitteln.

michael777 aktiv_icon

15:44 Uhr, 28.02.2010

nächster Schritt:
Ableitung

= 0

(Bedingung für Extremwerte)
probiers mal und schreibe hier dein Ergebnis

Bienchen18 aktiv_icon

16:03 Uhr, 28.02.2010

0 = - 500 y^{- 2} + 2

- 2 = - 500 y^{- 2}

- \frac{2}{- 500} = y^{- 2}

\frac{1}{250} = y^{- 2}

minus Wurzel aus

\frac{1}{250} = y

michael777 aktiv_icon

16:05 Uhr, 28.02.2010

- 500 y^{- 2} + 2 = 0

- \frac{500}{y^{2}} = - 2

2 = \frac{500}{y^{2}}

y^{2} = 250

y = \sqrt{250}

negative Wurzel ist hier keine Lösung, da Länge immer positiv

Bienchen18 aktiv_icon

16:13 Uhr, 28.02.2010

ahhh, ein licht geht auf:-)

jetzt muss ich

y

nur noch in die nebenbedeutung einsetzen und nach

x

auflösen oder?und dann hab ich das ergebnis:-)

DANKE DANKE DANKE:-)

michael777 aktiv_icon

16:13 Uhr, 28.02.2010

genau

x

mit der Nebenbedingung ausrechnen
zum Vergleich:

x = 31.6

mit

x

und

y

kannst dann den (minimalen) Umfang ausrechnen,
aber dessen Länge ist nicht gesucht

Bienchen18 aktiv_icon

16:23 Uhr, 28.02.2010

y

einsetzen in Nebenbedingung:

A = x \cdot 15,8 = 500

x = 31,6

Das heist Der Umfang beträgt:

31,6 + 2 \cdot 15,8 = 63,2

die ganzen Ergebnise kann mann jetzt nicht so genau sagen, weil das ja alles die Megakommazahlen sind;-)...hab mal ab- und aufgerundet!

Supi die Frage hätte sich jetzt also erledigt, wenn mir ihr mir noch sagen könnt, ob das Ergebnis der Umfangs richtig ist!

Ich kann mir nur noch mal bedanken, ist super hier! Hab mich nämlich aus Verzweiflung hier angemeldet;-).Danke!

michael777 aktiv_icon

16:25 Uhr, 28.02.2010

ich hab das gleiche Ergebnis raus

mach mal die Probe für die Fläche:

x \cdot y = 15,8 \cdot 31,6 = 499,3

(sollte

500

sein, Rundungsfehler)

Bienchen18 aktiv_icon

16:26 Uhr, 28.02.2010

Ja, genau das habe ich auch raus!! Vielen Dank, war mir eine sehr große Hilfe;-)...Frage ist somit beantwortet und ich bin glücklich;-)!

Shipwater aktiv_icon

16:26 Uhr, 28.02.2010

Exakt angegeben wäre der minimale Umfang:

20 \sqrt{10}

Bienchen18 aktiv_icon

16:29 Uhr, 28.02.2010

Ja, genau das habe ich auch raus:-)!!

Vielen dank für die Hilfe, das hat mich echt weiter gebracht:-)!! Die Frage ist jetzt also beantwortet!!

Vielen Dank!

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