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Extremwertaufgabe Seilbahn

Universität / Fachhochschule

Tags: Extremwertaufgabe, Seilbahn

MarcoP aktiv_icon

19:37 Uhr, 04.05.2012

Von einem Hüttenwerk

H,

das

30

km von einer
geradlinigen Bahnlinie entfernt liegt, soll das Erz zu
einem an der Bahn liegenden(50 km entfernten) Werk

W

gebracht werden. Zu welcher Stelle A der Bahnlinie
müsste eine Drahtseilbahn gebaut werden, damit die
Transportkosten, die per Seilbahn 3 mal mehr als per
Bahn betragen, möglichst gering sind?

Meine Zielfunktion zu diesem Beispiel wäre:

(40 - x) + (({(900 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) \cdot 3)

Doch leider komm ich nie auf das richtige Ergebnis...

[

Lösung:

10,6

]

Bitte um Hilfe

danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rabanus aktiv_icon

22:28 Uhr, 04.05.2012

Lageskizze !

Die Angabe "50 km Entfernung" ist unklar ! Entfernung von was bzw. von wo ?

MarcoP aktiv_icon

18:36 Uhr, 06.05.2012

Hier die Skizze:

pleindespoir aktiv_icon

21:12 Uhr, 06.05.2012

Der Ansatz sieht gut aus - was hast Du danach angestellt ?

MarcoP aktiv_icon

14:21 Uhr, 07.05.2012

Danach habe ich das ganze mal quadriert, damit ich die Wurzel wegbekomme

\to

(x^{2} - 80 x + 1600) + ((900 + x^{2}) \cdot 9)

Dann so weit wie möglich weitergerechnet(vereinfacht):

\to

x^{2} - 80 x + 1600 + 8100 + 9 x^{2}

\to

10 x^{2} - 80 x + 9700

Und jetzt die Ableitung und 0 setzten

\to

20 x - 80 = 0

x = 4

Ist aber falsch...

irgendwo muss ich hier noch einen Fehler haben

Vielen Dank schonmal im vorraus an die Helfer....

Rabanus aktiv_icon

17:30 Uhr, 07.05.2012

f (x) = 40 - x + 3 {(900 + x^{2})}^{1 / 2}

f^{2} (x) \neq (x^{2} - 80 x + 1600) + (900 + x^{2}) 9

(binomischer Lehrsatz

!)

Außerdem ist die Quadrierung von

f (x)

nicht zielführend !

MarcoP aktiv_icon

17:37 Uhr, 07.05.2012

wie sollte man sonnst hier weiterrechnen?

bitte um Antwort

Rabanus aktiv_icon

17:43 Uhr, 07.05.2012

Ableitung von

f (x)

bilden !

f' (x) = \dots

MarcoP aktiv_icon

22:00 Uhr, 07.05.2012

ich verstehe das echt nicht warum hier das quadrieren keinen sinn haben soll...
hat bei einigen anderen aufgaben auch schon alles einfacher gemacht...

und soll man nicht immer so weit wie möglich vereinfachen bevor man ableitet...
hmmm?

also die ableitung für:
40−x+3*(900+x^2)1/2

wäre ja:

0 - 1 + 0 \cdot {(900 +^{2})}^{\frac{1}{2}}

dann würde ja die ganze Klammer

{(900 + 2)}^{\frac{1}{2}}

wegfallen wegen dem

0 \cdot (... .)

kenn mich nicht mehr aus...

pleindespoir aktiv_icon

22:33 Uhr, 07.05.2012

Wenn Du eine Summe quadrierst, dann sieht das schematisch so aus:

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

du hast aber so quadriert:

(a + b)^2 = a^2 + b^2

Da ist der Kommentar "nicht zielführend" noch die mildeste Form der Beurteilung - ich würde sagen "grottenfalsch".

Unter Berücksichtigung der binomischen Formel hättest du dann auch noch immer die Wurzel auf dem Tisch und nicht unter der Erde, wo sie hingehört.

---

Was Deine Ableitung angeht, sind Faktoren vor der Funktion weiter mitzuführen und werden NICHT zu Null, nur weil man grade Lust drauf hat.

Zu Null werden Konstanten, die als Summanden stehen.

Also auch hier grundlegende Regeln nochmal einpauken !!!

MarcoP aktiv_icon

22:45 Uhr, 07.05.2012

Wenn ich dies aber nach deiner Weise falsch ausgerechnet hätte, dann müsste ich doch "40^2-x^2"

Ich rechne habe

{(40 - x)}^{2}

so ausgerechnet:

40^{2} = a^{2}

-80x=2ab

x^{2} = b^{2}

und das stimmt ja doch...?

kann BITTE BITTE jemand das beispiel nach seiner weise fertig rechnen...

pleindespoir aktiv_icon

23:05 Uhr, 07.05.2012

z = (40 - x) + 3 \cdot \sqrt{900 + x^{2}}

z' = 0 - 1 + 3 \cdot \frac{x}{\sqrt{900 + x^{2}}}

klar bis dahin ?

dann Nullsetzen der Ableitung:

z' = 0

0 = - 1 + 3 \cdot \frac{x}{\sqrt{900 + x^{2}}}

1 = 3 \cdot \frac{x}{\sqrt{900 + x^{2}}}

\sqrt{900 + x^{2}} = 3 x

JETZT bringt quadrieren was:

900 + x^{2} = 9 x^{2}

MarcoP aktiv_icon

23:24 Uhr, 07.05.2012

Ahh... I see

vielen vielen Dank für die Hilfe

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