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Extremwertaufgabe: Streichholzschachtel!

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Extremwertaufgabe

Jingle aktiv_icon

18:13 Uhr, 21.01.2010

Hallo,

ich brüte hier über einer Aufgabe, ich find einfach den Ansatz nicht!
Wir sollen die Breite

x

und die Höhe

h

für eine Streichholzschachtel berechnen, bei denen am wenigsten Material verbraucht wird.
Das Volumen der Schachtel beträgt

25

cm^3 und die Länge beträgt 5cm, bei der Ummantelung beträgt sie

5,2

cm, die Höhe ist dabei bis auf die letzte Seitenwand

h + 0,05

und die Breite ist

x + 0,05

.
Ich hab die Skizze hier vor mir und habe mal versucht sie zu zeichnen, wie man sieht bin ich nicht gut darin :-D), ich hoffe ihr könnt es erkennen.
So weit bin ich bis jetzt:
Ich vermute das man die Oberfläche als Hauptbedingung aufstellen muss und das Volumen als Nebenbedingung!
Wenn das so wäre bräuchte ich nur ein paar Tipps zur Aufstellung der Gleichungen, weil ich irgendwie nicht weiß was ich da wie oft reinpacken muss und ich weiß auch nicht ob ich die beiden Figuren beide berechnen muss, weil ich ja das Volumen nur von der Schachtel habe, kann ich das Volumen nur von der Schachtel berechnen, die Gleichung nach einer Unbekannten umstellen und das dann in die Hauptbedingung einsetzen, die ja dann aus der Gleichung der Ummantelung und der Schachtel bestehen muss oder??
Bitte helft mir

: (

Danke schon mal!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Tarengrim aktiv_icon

09:15 Uhr, 22.01.2010

Im Prinzip hast du glaub ich recht, wenn ich das recht gelesen habe.

zuerst mußt du einmal das Material ausrechnen, wobei das in meinen Augen der falsche begriff ist, genau genommen rechnest du dir die Oberfläche von Schachtel und Ummantellung aus.

definieren wir einmal

M_{s} =

Oberfläche der Schachtel

M_{u} =

Oberfläche der Ummantelung

M_{s} + M_{u} =

O_Ges = Extremwert (minimum)

V_{s} =

Volumen Schachtel

= 25

Jetzt mußt du nur noch die Menge Papier berechnen die du für die beiden Figuren brauchst. Ich nehem mal an es soll aus Papier gemacht werden, sonst wirds wie oben erwähnt schwierig weil Karton Schachtel ist dicker als Karton Ummantelung

aus der Skizze kannst du dir die Gleichungen recht einfach aufstellen indem du jede kleine Fläche einzeln berechnest

M_{s} = l \cdot x + 2 \cdot l \cdot h + 4 \cdot x \cdot h + 4 \cdot x^{2}

l \cdot x =

große Fläche in der Mitte

l \cdot h =

Seiten flügel links und rechts

x \cdot h =

Front (oben und unten, 4 mal wie man sieht)

x^{2} =

die kleinen Quadrate an der ecke)

M_{u} = 2 \cdot 5,2 \cdot (x +,05) + 3 \cdot 5,2 \cdot (h +,05)

5,2 \cdot (x +,05) =

Große Deckfläche

5,2 \cdot (h +,05) =

Seitenfläche, 3 mal

\Rightarrow

O_Ges

= M_{s} + M_{u} = l \cdot x + 2 \cdot l \cdot h + 4 \cdot x \cdot h + 4 \cdot x^{2} + 2 \cdot 5,2 \cdot (x +,05) + 3 \cdot 5,2 \cdot (h +,05)

= 5 \cdot x + 2 \cdot 5 \cdot h + 4 \cdot x \cdot h + 4 \cdot x^{2} + 2 \cdot 5,2 \cdot (x +,05) + 3 \cdot 5,2 \cdot (h +,05)

= 5 \cdot x + 10 \cdot h + 4 \cdot x \cdot h + 4 \cdot x^{2} + 10,5 \cdot (x +,05) + 15,6 \cdot (h +,05)

V_{s}

formst du nun auf eine Variabel um (ich würde

h

nehmen), setzt du in O_ges ein, bildest die erste Ableitung, Null setzen und berechnen.

Hoffe das hilft dir.

Jingle aktiv_icon

17:12 Uhr, 22.01.2010

Vielen Dank Tarengrim!
Das hat mir total geholfen und ich verstehs sogar!
:-) Danke!!!

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