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Extremwertaufgabe - Zylinderbecher

Schüler

Tags: Höhe, Liter, Radius, volum, Zylinderbecher

 
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Nullcheckerin

Nullcheckerin aktiv_icon

17:14 Uhr, 18.01.2012

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Hey, ich habe folgende Aufgabe:

Ein zylinderförmiger Blechbecher soll ein Volumen von einem Liter haben. Wie groß müssen Radius und Höhe gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist?

V=π⋅(r)2⋅h

Muss ich dann

1000 cm^3 =π⋅(r)2⋅h rechnen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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prodomo

prodomo aktiv_icon

17:40 Uhr, 18.01.2012

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Ja, V steht ja für Volumen. Aber in der Formel kommen r und h vor. Gefragt ist ja außerdem der Blechverbrauch. Der Becher hat einen Boden mit der Fläche π⋅r2 und einen Mantel mit der Fläche 2⋅π⋅r⋅h, also M=2⋅π⋅r⋅h+π⋅r2. Jetzt löse die Volumenformel nach h auf und setze den gefundenen Term für h dann in die Mantelformel ein. So erhältst du eine Mantelformel, die nur noch die Variable r enthält. Von der suchst du dann den kleinsten Wert (Tiefpunkt) mit dem bekannten Verfahren. Wenn du diesen Wert für r gefunden hast, rechnest du damit h aus und kontrollierst zur Sicherheit noch einmal, ob π⋅r2⋅h wirklich 1000 cm^3 gibt !
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