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Extremwertaufgabe - maximales Volumen errechnen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, mit Bedingungen, Päckchen

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17:24 Uhr, 20.02.2013

Hallo zusammen. Ich bin neu hier und hoffe das ihr mir bitte weiter helfen könnt.

Wir haben zur Zeit das Thema "Extremwertaufgaben" und ich hänge bei meiner letzten Übungsaufgabe fest

: \frac{-}{}

Aufgabe

5 :

Ein Päckchen muss nach der Definition vom Paketdienst den folgenden Bedingungen genügen: Länge+Breite+Höhe darf maximal

90

cm betragen,eine Seite darf Länger als

60

cm sein. Wie müssen Sie die Maße für ein Päckchen mit quadratischer Grundfläche wählen, wenn das Volumen maximal groß werden soll?

Also was ich mir jetzt überlegt hatte ist folgendes:

Ich hatte mir eine Skizze auf dem Papier gemacht und mir überlegt, da die Grundfläche ja quadratisch sein soll, dass die Länge und Breite

30

cm betragen könnten und die Höhe vielleicht

15

cm. Dann hätte ich doch auf der Länge gesehen

a = 2 \cdot 30

cm und für die Höhe

c = 2 \cdot 15

cm was zusammen addiert

90

cm ergibt. Und für die Breite habe ich dann einmal

b = 30

cm und die Höhe

c = 2 \cdot 15

cm was zusammenaddiert

60

cm ergibt.

Habe ich das so richtig verstanden und kann ich damit rechnen oder ist das Falsch?

Meine Rechnung würde dann ja so lauten:

V (a, b, c) = a \cdot b \cdot c

2 a + 2 c = 90

--umgestellt->

a = - c + 35

b + 2 c = 60

--umgestellt->

b = - 2 c + 60

Jetzt habe ich die Nebenbedingungen und setze diese ein:

V (c) = {(- c + 35) \cdot (- 2 c + 60)} \cdot c

= (2 c^{2} - 60 c - 70 c + 2100) \cdot c

= 2 c^{3} - 130 c^{2} + 2100 c

Davon die Ableitung lautet:

V´(c)=

6 c^{2} - 260 c + 2100

Die Ableitung gleich Null setzen:

V´(c)= 0

6 c^{2} - 260 c + 2100 = 0

c 1 = 10,74 < - -

Nach Vorzeichenwechselverfahren ist dies das Maximum!

c 2 = 32,60

Jetzt setze ich das Ergebnis

c 1

in die Nebenbedingungen ein:

a = - 10,74 + 35

= 24,26

b = - 2 \cdot 10,74 + 60

= 38,52

V (a, b, c) = 24,26 \cdot 38,52 \cdot 10,74

= 10 . 036,48

cm^3

Hmpf

. .

. ich glaube das ich die Aufgabe Missverstanden habe

: - (

Ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein bei meinem Problem diese Aufgabe richtig zu verstehen.

LG Patrick

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Gwunderi aktiv_icon

18:15 Uhr, 20.02.2013

Das Paket hat ja eine quadratische Grundfläche, also ist das Volumen:

V = a^{2} \cdot h

Siehst Du jetzt eine Möglichkeit, h durch a auszudrücken? Länge + Breite + Höhe ist ja 90 cm.

P.S. Machst Du etwa Schleichwerbung für DHL?

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18:38 Uhr, 20.02.2013

Danke, werd ich mal ausprobieren.

Und nein ich mach keine schleichwerbung, das war mir jetzt nicht bewusst! Hab nur die Aufgabe vom Blatt abgeschrieben.

: - (

Gwunderi aktiv_icon

18:48 Uhr, 20.02.2013

War natürlich ein Witz, das mit der Schleichwerbung :-)
Und hatte ich übrigens gang vergessen: Willkommen im Forum!

Zur Höhe h:
Länge + Breite + Höhe = 90
a + a + h = 90
2a + h = 90
h = 90 - 2a

Dieses h kannst Du jetzt in die Volumenformel einsetzen:

V = a^{2} \cdot h

V = a^{2} \cdot (90 - 2 a)

Kannst es bis hier nachvollziehen?

Als nächstes kannst Du dann die Gleichung ausmultiplizieren.

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19:28 Uhr, 20.02.2013

Also hab jetzt folgendes raus:

a = 30

b = 30

c = 30

cm

Maximales Volumen:

27.000

cm^3

Ist das korrekt?

Lg

Ps: hab die Werbung vorhin gelöscht :-P)

Gwunderi aktiv_icon

19:42 Uhr, 20.02.2013

Das ist völlig korrekt.

Also meinst Du irgend ein Paketdienst, nicht DHL? :-)))

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21:51 Uhr, 20.02.2013

Ja Super

!!!

Vielen dank für deine Hilfe :-)

Wie kommst du auf dhl? Hab ich doch "nie" erwähnt :-P)

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