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Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

kaktusmckaktus aktiv_icon

00:11 Uhr, 24.07.2012

Hi Leute,

ich weiß nicht ob ich das jetzt richtig kategorisiert habe. Auf jedenfall habe ich folgende Aufgabe vor mir:

Untersuchen Sie folgende Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen

f (x, y) = x^{2} + y^{2} \to

Extremum
Nebenbedingung

g (x, y) = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 2 = 0

Interpretieren sie das Ergebnis geometrisch!
Hinweis: Die Nebenbedingung beschreinbt einen Kreis in der x-y-Ebene.

Wie gehe ich an diesen Typ von Aufgabenstellung heran(mit Nebenbedingung)? Bin für jede Hilfe dankbar.

grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Aurel

02:25 Uhr, 24.07.2012

NB:

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow

{(y - 1)}^{2} = 2 - {(x - 1)}^{2} . .

. Wurzelziehen

y - 1 = \pm \sqrt{2 - {(x - 1)}^{2}} \Rightarrow

y_{1} = 1 + \sqrt{2 - {(x - 1)}^{2}}

y_{2} = 1 - \sqrt{2 - {(x - 1)}^{2}}

setze

y_{1}

bzw

y_{2}

in.

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

ein. Dadurch erhälst du 2 Funktionen

f_{1} (x)

und

f_{2} (x)

Löse die Gleichungen

f_{1}' (x) = 0

und

f_{2}' (x) = 0

. Dadurch erhälst du die x-Koordinaten der beiden Extremstellen.

LG :-)

Matlog aktiv_icon

08:55 Uhr, 24.07.2012

Alternativ kannst Du auch das Lagrange-Verfahren zur Bestimmung von Extrema unter Nebenbedingungen verwenden.
Falls Du das nicht kennst (und Dich dafür interessierst), suche unter Lagrange-Verfahren, Lagrange-Methode oder Lagrange-Multiplikator.

michaL aktiv_icon

09:07 Uhr, 24.07.2012

Hallo,

noch zwei Möglichkeiten:

Du kannst die Kurve (Kreis um den Punkt (1,1)) parametrisieren (

x = x (t)

y = y (t)

). Diese Parametrisierung kannst du in

f (x, y)

einsetzen und erhälTst

g (t) := f (x (t), y (t))

.

Dann wieder wie in der Schule.

Andere Möglichkeit: Du gehst von der Seite der geometrischen Interpretation heran. Dann findet man eine weitere "Kurve", auf der die Extrema liegen. Die kann man per Schnittpunktberechnung bestimmen.

Mfg Michael

kaktusmckaktus aktiv_icon

10:08 Uhr, 24.07.2012

Danke schonmal, ich werde mich etwas später mal ransetzen und dann nochmal das Ergebnisse mit euch abklären.

Grüße

kaktusmckaktus aktiv_icon

12:05 Uhr, 24.07.2012

tachchen,

da ich mit Aurels Herangehensweise leider nicht zurecht komme(die Ableitung von

f' (x, y)

kriege ich nicht nach

x

aufgelöst), habe ich mich jetzt dem Lagrange-Verfahren gewidmet. Ich denke ich habe soweit auch alles richtig gemacht:

Λ (x, y, λ) = x^{2} + y^{2} + λ \cdot ({(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 2)

\partial (\frac{Λ}{x}) = 2 \cdot x + 2 \cdot λ (x - 1)

\partial (\frac{Λ}{y}) = 2 \cdot y + 2 \cdot λ (y - 1)

\partial (\frac{Λ}{x}) = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 2

Aber ich stelle mich gerade schon wieder zu blöd an, um die partiellen Ableitungen nach

x

bzw.

y

aufzulösen... kleiner Hinweis?

danke! grüße!

Matlog aktiv_icon

12:13 Uhr, 24.07.2012

Erste partielle Ableitung gleich Null setzen, Klammer auflösen, alle Summanden mit

x

auf eine Seite, ausklammern...

kaktusmckaktus aktiv_icon

12:39 Uhr, 24.07.2012

Ok, habe jetzt:

x = \frac{λ}{1 + λ} = y

das eingesetzt in die Nebenbedingung bzw. 3 partielle Ableitung

\Rightarrow 2 \cdot {(x - 1)}^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 2 \cdot x = 0

Jetzt Anwendung der

p, q

Formel:

x 1 = 0, x 2 = - 2

Korrekt soweit? Ähhm, wo muss ich jetzt genau die

x

Werte einestzen um die y-Koordinaten zu erhalten?

danke! grüße!

Matlog aktiv_icon

13:09 Uhr, 24.07.2012

Du hast es doch selbst geschrieben:

x = y

Kleine Korrektur:

x_{2} = + 2

kaktusmckaktus aktiv_icon

14:02 Uhr, 24.07.2012

Alles klar, das heißt, dass die kritischen Punkte einmal im Ursprung und im Punkt(2,2) liegen, und die Funktion an diesen Punkten die Werte 0 und 8 hat?

Kann ich eine Aussage über die Art der Extrema treffen?

Danke! Grüße!

p . s

. Warum 2 statt

- 2

Matlog aktiv_icon

14:28 Uhr, 24.07.2012

Nun ja, dass in

(0,0)

ein Minimum und in

(2,2)

ein Maximum vorliegt, sollte schnell einleuchten.

Noch zur geometrischen Interpretation:
Die Nebenbedingung ist ein Kreis um

(1,1)

mit Radius

\sqrt{2}

.
Die Funktion

f

gibt das Quadrat des Abstandes jedes Punktes vom Nullpunkt an.

Matlog aktiv_icon

14:33 Uhr, 24.07.2012

p . s . :

Scheinbar hast Du beim Lösen der Gleichung

x^{2} - 2 \cdot x = 0

etwas falsch gemacht.
p-q-Formel geht natürlich, ist aber nicht nötig, ausklammern reicht.

kaktusmckaktus aktiv_icon

14:41 Uhr, 24.07.2012

Jaaaa, alles klar, hab den Fehler bemerkt. Ich danke dir vielmals.

Schönen Tag noch

greetz!

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