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Extremwertaufgabe..komme nicht klar

Schüler Berufskolleg,

Tags: Extremwertaufgaben, Hochpunkte berechnen

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18:16 Uhr, 25.09.2014

Hi
Hab ein Problem mit einer Extremwertaufgabe:

K

ist der Graph von

f

mit

f (x) = x^{3} - 3 x - 2

a)

Die Gerade

x = u

mit

- 1 < u < 2

schneidet die x-Achse in

Q

und

K

im Punkt P. Zeigen Sie: Das Dreieck NPQ hat für

u = 1,25

den größten Flächeninhalt.
Die Punkte sind

N (- 1 | 0) Q (u | 0) P (u | f (u))

Mein Ansatz:
Hab das dreieck erst gezeichnet und wollte ganz normal den größten Flächeninhalt bestimmen:
Die Zielfunktion ist bei mir

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u + 1) \cdot f (u)

Stimmt mein Ansatz? Wie mache ich jetzt weiter? Wenn ich normal ausmultipliziere kommt bei mir ziemlich wirres Zeug raus.
Gibt es einen einfachereren Weg die Aufgabe zu lösen?

Respon

18:51 Uhr, 25.09.2014

Sieht gut aus

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u + 1) \cdot f (u)

f (u) = (u^{3} - 3 \cdot u - 2)

\Rightarrow

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u + 1) \cdot (u^{3} - 3 \cdot u - 2)

1. Ableitung bilden
Setzt man nun den gegebenen Wert

1,25

ein, so muss sich 0 ergeben.

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19:08 Uhr, 25.09.2014

Danke schonmal!
Soll ich die Produktregel anwenden..falls ja, wie in diesem Beispiel? Oder doch ausmultiplizieren und dann ableiten?

Respon

19:17 Uhr, 25.09.2014

Vermutlich ist ausmultiplizieren einfacher.

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19:31 Uhr, 25.09.2014

Bei mir steht dann:

A (u) = \frac{1}{2} u^{4} + \frac{1}{2} u^{3} - \frac{3}{2} u^{2} + \frac{1}{2} u - 1

Davon jetzt die erste Abl.?

Respon

19:35 Uhr, 25.09.2014

\frac{1}{2} \cdot (u + 1) \cdot (u^{3} - 3 \cdot u - 2) = \frac{1}{2} \cdot (u^{4} + u^{3} - 3 \cdot u^{2} - 3 \cdot u - 2 \cdot u - 2) = \frac{1}{2} \cdot (u^{4} - u^{3} - 3 \cdot u^{2} - 5 \cdot u - 2)

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19:56 Uhr, 25.09.2014

Danke..habs jetzt.
Sorry aber nun habe ich das nächste Problem :-D)

b)

Die Fläche zwischen

K

und den Koordinatenachsen im 4. Feld soll ein möglichst großes Viereck mit dem Eckpunkt

A (0 | - 2)

einschließen. Bestimmen Sie das Viereck mit der größtmöglichen Fläche.
Das Problem dabei ist das das Viereck eben so ne Art Trapez bloß mit einer schiefen Seite unten. Verwende ich jetzt

a \cdot b

oder

\frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h

?

edit: Hab jetzt als Zielfunktion:

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u^{2} + 1) + f (u)

richtig?

Respon

20:13 Uhr, 25.09.2014

Wenn du mit

A (u)

den Flächeninhalt des Viereck meinst. Nein, das kann nicht stimmen.
Welche Flächenformel verwendest du ?

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20:14 Uhr, 25.09.2014

\frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h

Respon

20:16 Uhr, 25.09.2014

Warum nimmst du an, dass es ein Trapez ist ?

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20:18 Uhr, 25.09.2014

Weil die Strecke von Punkt

N

zu Punkt A ja "schief" ist und die Seite a zur seite

c

parallel sind..oder bin ich auf dem ganz falschen pfad und sollte

a \cdot b

verwenden? :-D)

Respon

20:20 Uhr, 25.09.2014

Also aufgrund deiner Angaben sehe ich die Sache so:

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20:25 Uhr, 25.09.2014

Dein Punkt

c

liegt auf

(- 1 | 0)

und nicht bei

(0 | 0)

Respon

20:28 Uhr, 25.09.2014

Deine Angabe war

(0 | - 2)

Respon

20:29 Uhr, 25.09.2014

...

. und im 4. Feld

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20:29 Uhr, 25.09.2014

Das war der neue Punkt..die 3 von oben kommen auch dazu.
edit: Ach mist, sry habs verpeilt. Sieht so aus wie von dir gezeichnet :-D)
Welche Formel verwende ich nun?

Respon

20:31 Uhr, 25.09.2014

Die Fläche zwischen

K

und den Koordinatenachsen im 4. Feld soll ein möglichst großes Viereck mit dem Eckpunkt A(0|−2) einschließen. Bestimmen Sie das Viereck mit der größtmöglichen Fläche.
Diese Angabe entspricht dem rot eingefärbten Viereck. Wobei der Punkt auf dem Graph varaiable ist und ja gemäß des Maximums berechnet werden soll.

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20:35 Uhr, 25.09.2014

edit: Ach mist, sry habs verpeilt. Sieht so aus wie von dir gezeichnet :-D))
Bin mir immernoch nicht sicher wegen der Formel.

Respon

20:36 Uhr, 25.09.2014

Das ist ein allgemeines Viereck, dazu gibt es keine Formel.

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20:39 Uhr, 25.09.2014

Ich muss doch eine Zielfunktion aufstellen, oder nicht? Dafür bräuchte ich ja irgendeine Formel.

Respon

20:46 Uhr, 25.09.2014

Zerlege das Viereck durch Verbindung von A und

B

in zwei Dreiecke. Das obere Dreieck ist konstant und trägt zum Maximum nichts bei. Das untere Dreieck ist variabel. Und für ein Dreieck gibt es ja viele Berechnungsmodalitäten.

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21:24 Uhr, 25.09.2014

Also brauch ich nur noch mit

\frac{1}{2} \cdot g \cdot h

das untere Dreieck zu berechnen?
Dann wäre meine idee für eine Zielfunktion

A (u) = \frac{1}{2} \cdot f (u) \cdot u

sieht irgendwie falsch aus :-D)

Respon

21:31 Uhr, 25.09.2014

Ist es auch.
Du hast ein Dreieck mit den Punkten

A (0 | - 2), B (2 | 0)

und

P (u | f (u))

Wie berechnest du die Fläche eines Dreiecks, wenn die Koordinaten der Eckpunkte gegeben sind?

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21:33 Uhr, 25.09.2014

\frac{1}{2} \cdot g \cdot h

Bei

B

ist der Punkt allerdings

(u | 0)

und nicht 2.

Respon

21:34 Uhr, 25.09.2014

B (2 | 0)

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21:39 Uhr, 25.09.2014

Ok..habs jetzt, danke nochmal!

Respon

21:44 Uhr, 25.09.2014

Ergebnis: für

u = \sqrt{\frac{4}{3}}

hat das Viereck den größten Flächeninhalt

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21:46 Uhr, 25.09.2014

Ok dann hab ichs wohl doch nicht :-D)
Was hast du als Zielfunktion genommen?

Respon

21:49 Uhr, 25.09.2014

Das hängt davon ab, welche Rechenmethoden dir zur Verfügung stehen.
Hessesche Normalform ?
Kreuzprodukt in

ℝ^{3}

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21:51 Uhr, 25.09.2014

Hab von beidem noch nie was gehört..in meinem Buch steht auch nichts davon.
edit: Google sagt hat was mit Vektoren zu tun..hatte ich noch nicht.

Respon

21:53 Uhr, 25.09.2014

Mit welchen Methoden habt ihr ähnliche Beispiele dieser Art gelöst ?
bzw.
Von wo sind denn die Originalaufgaben ?

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21:55 Uhr, 25.09.2014

Mit der Methode von

a)

Also
1. Zielfunktion aufstellen
2. Berechnung der Extremwerte der Zielfunktion

Respon

21:57 Uhr, 25.09.2014

Das ist schon klar.
Es geht um die Berechnung von Dreiecken mittels Koordinaten.
Das Problem hier ist: Ich habe von einem Dreieck die Koordinaten der Eckpunkte und soll den Flächeninhalt bestimmen.

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22:02 Uhr, 25.09.2014

Beispiel von oben:

A (u) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

dann habe ich die Grundfläche genommen die Strecke NQ = Xq - Xn

= u + 1

dann die Höhe Strecke QP = Yp - Yq

= f (u) - 0

Ergiebt die Zielfunktion

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u + 1) \cdot f (u)

Dann ausmultiplizieren und die 1. ableitung 0 setzen für extremwerte.
Eine andere Methode kenne ich , noch, nicht, außer mit dem CAS (taschenrechner).

Respon

22:06 Uhr, 25.09.2014

In der ersten Aufgabe hatten wir ein RECHTWINKELIGES Dreieck.
Jetzt haben wir ein allgemeines Dreieck.

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22:08 Uhr, 25.09.2014

Ich weiß..eine andere Methode als zur berechnung von rechtwinkeligen, bei extremwertaufgaben, kenne ich nicht.

Respon

22:11 Uhr, 25.09.2014

Aber wenn man differenziert und Extremwertaufgaben löst, dann muss man doch die gesamte Geometrie "vorher" durchgemacht haben. Das ist ja Maturastoff.

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22:19 Uhr, 25.09.2014

Ich weiß doch wie ich ein allgemeines Dreieck berechnen kann..nur nicht im Zusammenhang mit extremwertaufgaben..deswegen war ich wohl leicht verwirrt, hab jetzt ebenfalls deine Lösung raus. Danke das du dir die Zeit genommen hast.

Ma-Ma aktiv_icon

22:32 Uhr, 25.09.2014

Ich würde jetzt ansatzweise gerne auch ein bissl Senf dazugeben

. .

.

Zeichnung von cositan:
Dreieck ABC ist fest.

Dreieck ABP variabel.

A = \frac{1}{2}

g =

|AB|

h

steht senkrecht auf

g

.

Ich würde versuchen,

h

zu maximieren

. .

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