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Extremwertaufgaben
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 19:04 Uhr, 22.08.2005  |
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hallo, ich habe ein problem mit meinen mathehausaufgaben... die aufgabe lautet: P(u/v) sei ein beliebiger Punkt auf einer Parabel mit der Gleichung y=-1/2x²+2 a) Bestimme P so, dass das Dreieck ABP mit A(-2/0) und B(u/0) den größtmöglichen Flächeninhalt hat. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt? b) Für welchen Punkt P1 ist im Dreieck ABP die Summe der Kathetenlängen maximal? c) Wenn sich ein Dreieck ABP um die x-Achse dreht, so entsteht ein Kegel. Wie groß kann der Rauminhalt eines solchen Kegels höchstens werden? ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand damit helfen könnte |
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hallo, ich habe ein problem mit meinen mathehausaufgaben... die aufgabe lautet: P(u/v) sei ein beliebiger Punkt auf einer Parabel mit der Gleichung y=-1/2x²+2 a) Bestimme P so, dass das Dreieck ABP mit A(-2/0) und B(u/0) den größtmöglichen Flächeninhalt hat. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt? Der Flächinhalt ist die Grundfläche (u+2) mal die höhe (-1/2u²+2) durch 2 a) F = ((u+2)*(-1/2u^2+2))/2 |jetzt umformen F = (-1/2u^3+2u-u^2+4)/2 F = (-1/4u^3+u-1/2u^2+2) F = -1/4u^3-1/2u^2+u+2 Ableigung von -(1/4)x^3-(1/2)x^2+x+2 (1):-3/4*x^2-x+1 -3/4*x^2-x+1=0 Der Hochpunkt (also der größte Flächeninhalt) ist bei 2/3 Tut mir Leid, muss arbeiten, kann nicht so viel schreiben! Wenn die Aufgabe morgen noch nicht gelöst ist, schreibe ich sie dir noch ausführlicher auf und löse die anderen auch noch! gruß Berry |
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a) Die Grundseite dieses dreieckes ist immer von dem Punkt A(-2/0) zum Punkt B(u/0): Hat also eine länge von u + 2 Die Höhe des Dreieckes ist von Punkt B(u/0) bis zum Punkt P(u/v). Da der Punkt P(u/v) auf der Parabel liegt kann er auch P(u/f(u)) oder P(u/[-1/2u^2+2]) genannt werden: Hat also eine Höhe von -1/2u^2+2 Wichtig ist noch das u > -2, da sonst das Dreieck BAP oder gar kein Dreieck ensteht. F=(g*h)/2 = ((u+2)*(-1/2u^2+2))/2 F = (-1/2u^3+2u-u^2+4)/2 F = (-1/4u^3+u-1/2u^2+2) F = -1/4u^3-1/2u^2+u+2 Nun müssen wir Hochpunkte finden: Ableigung von -(1/4)u^3-(1/2)u^2+u+2 (1):-3/4*u^2-u+1 0=-3/4*u^2-u+1 |*-4/3 0=u^2+4/3u-4/3 p,q-Formel u1,2 = -2/3+-wurzel(4/9 + 12/9) u1,2 = -2/3+-wurzel(16/9) u1 = 2/3 u2 = -2 da u > -2 ist -2 der Tiefpunkt bei u = 2/3 ist also das richtige Ergebnis (Hochpunkt)! b) Länge der Kathethenlänge ist Grundseite Plus die Höhe also: KL = (u+2)+(-1/2u^2+2) KL = -1/2u^2 + u + 4 Hochpunkt suchen, also ableiten: Ableigung von -1/2u^2 + u + 4 (1): -u+1 0= -u + 1 |+u u = 1 bei u = 1 ist also das richtige Ergebnis (Hochpunkt) c) Ich weiss leider nicht, ob ich die Frage bei c) richtig interpretiere! <quote>Wenn sich ein Dreieck ABP um die x-Achse dreht, so entsteht ein Kegel</quote>: Diese Aussage stimmt nach meiner Auffassung nur für 0 < u < 2 Bei -2 < u < 0 entsteht kein Kegel! Die Aufgabe ist damit Fehlrhaft und ich würde sie nicht lösen! Kann aber auch sein, dass ich die Frage falsch interpretiere! Vielleicht weiss wer anders wie es gemeint ist! |
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