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Extremwertaufgaben

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremwertaufgaben

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16:52 Uhr, 05.09.2011

Damit kann ich nun wirklich nichts angangen....

Ein Gartenfreund besitzt einen

4 m

langen Wellblechstreifen von

1 m

Höhe. Diesen möchte er zum Bau eines dreikammerigen Abfallbehälters verwenden. Eine Seite des Behälters wird durch die Gartenmauer begrenzt. Wie muss er die Länge

x

und die Breite

y

des Behälters wählen, wenn der Behälter insgesamt möglichst viel fassen soll?

Was ich bis jetzt habe, haben wir im Unterricht angefangen:
Hauptfunktion

A (x, y) = x

mal

y

Nebenbedingung

x + 4 y = 4

Wie gehe ich nun weiter vor??

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16:59 Uhr, 05.09.2011

Zum besseren Verständnis, habe ich noch eine Beispielaufgabe aus dem Unterricht:

Jemand will eine Hundehütte bauen, hat Garten und Haus im rechten zu einander.
Länge des Zauns:

13 m

A max

. = rechteck

\frac{b}{a}

Hauptfunktionen

A (a, b) = a

mal

b

Nebenbedingungen

a + b = 13

a = 13 - b

0 < b - 13

Einsetzen der Nebenbedingung

A (b) = (13 - b)

mal

b =

13b-b²

A (b) =

-b²+13b

Berechnung des maximalen Flächeninhalts

A (b) =

-b²+13b
=-

[

(b²-13b+6,5²)-6,5²]
=-

[

(b-6,5)²-42,25]
=-(b-6,5)²+42,25

b = 6,5

a = 13 - b = 13 - 6,5 = 6,5

A max

= 42,25

DmitriJakov aktiv_icon

17:59 Uhr, 05.09.2011

Es gibt hier zwei mögliche Konfigurationen, bei denen Du a priori nicht entscheiden kannst, welche der beiden eine größere umschlossene Fläche bietet. Siehe dazu meine Zeichnung.

Wenn es am Ende ein Quadrat ist, so spielt die Orientierung der Kammerwände keine Rolle. Du kannst ja mal mit einer der beiden Konfigurationen anfangen und sehen was herauskommt :-)

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

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19:10 Uhr, 05.09.2011

Ok, aber ganz so sicher bin ich mir immernoch nicht, denn bis jetzt habe ich:

Hauptfunktion

A (x, y) = x \cdot y

Nebenbedingung

x + 4 y = 4

x = 4 - 4 y

(stimmt das?)

a (x) = (4 - 4 y) \cdot y

=4y-4y² |+4y²
=4y²+4y

A(x)=4y²+4
=4

[

(y²+1y)]
4

[

(y²+1y+1²)-1²]
=4(y+2)²+1

x = - 2

y = - 2 = 4 - 4 y

= - 2 = 4 - 4 y | + 4 y

4 y - 2 \cdot 4 | + 2

4 y = 6 | : 4

y = 1,5

Ist das soweit richtig, oder muss ich das anders machen?
Wenn das falsch ist, bitte um Hilfe/Korrektur.
Wenn das richtig ist, wie rechne ich den maximalen Flächeninhalt aus??
Danke :-)

DmitriJakov aktiv_icon

19:54 Uhr, 05.09.2011

Du bist während der Fahrt unbemerkt auf einen völlig falschen Dampfer gerutscht:

a (x) = (4 - 4 y) \cdot y

bis hierhin war es richtig.

= 4 y - 4 y^{2} | + 4 y^{2} . .

. hier begann das Disaster.

denn daraus wird ja eigentlich:

a (x) + 4 y^{2} = 4 y

und danach geht es nur noch in den Wald

Deswegen:
Hauptbedingung und Nebenbedingung haben gepasst, auch das Einsetzen von

x = 4 - 4 y

A (x) = 4 y - 4 y^{2}

JETZT: finde das Maximum dieser Flächenfunktion

A (x),

indem Du die erste Ableitung

A' (x)

bildest und diese Null setzt und nach

x

auflöst.

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14:58 Uhr, 06.09.2011

Aber das kann doch gar nicht gehen oder? Dann hätt ich ja voll das wirre Zeug da stehen:

A(x)+4y²=4y
4y=A(x)+4y²

= 4

[

(A(x)+4y²+2)-2]

wie mach ich denn da weiter?? Durch 4 teilen und dann?

prodomo aktiv_icon

17:06 Uhr, 06.09.2011

nochmal zurück bis

A = 4 \cdot y - 4 \cdot y^{2}

Ableitungen

A' = 4 - 8 y

A'' = - 8

Erste Ableitung gleich Null setzen: ergibt

y = 0,5

Das in die zweite Ableitung einsetzen ( spielt keine Rolle, da sie immer negativ ist

),

ergibt einen negativen Wert, also ein Minimum.

A (0,5) = 4 \cdot 0,5 - 4 \cdot {0,5}^{2} = 1

prodomo aktiv_icon

17:08 Uhr, 06.09.2011

Bei dieser Aufgabe ist

y

die Variable, nach der abgeleitet wird, weil anfangs die Nebenbedingung nach

x

aufgelöst wurde !

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17:47 Uhr, 06.09.2011

Sooo, ich hab mich jetzt zusätzlich in anderen Foren umgesehen, und habe jetzt dies in meinem Heft stehen:

Hauptfunktion

A (x, y) = x \cdot y

Nebenbedingung

x + 4 y = 4

x = 4 - 4 y

A (x) = (4 - 4 y) \cdot y

= -4y-4y²
= -4(y-y²)

A (x) =

-4

[

(y²-y+1/4)-1/4]

A (x) =

-4

[

(y-1/2)²-1/4

A (x) =

-4(y-1/2)²+1

A (x) = y = 1 : 2

x = 4 - 4 y = 4 - 4 \cdot 1 : 2 = 2

DmitriJakov aktiv_icon

18:15 Uhr, 06.09.2011

Was Du jetzt auszurechnen versucht hast ist wo A Null wird.
Du sollst doch aber ausrechnen wo A maximal wird ;-)

Also: Bilde die erste Ableitung

A' (y)

. Denn Dein A hängt nicht von

x

ab, sondern von

y : A (y) = 4 y - 4 y^{2}

Da steht nirgendwo ein

x

Wenn Dich das zu sehr irritiert, dann verwende die Buchstaben a und

b

für Deine Seitenlängen und nicht

x

und

y

Jackie251 aktiv_icon

14:38 Uhr, 07.09.2011

Der Lösungsansatz ist falsch, die Höhe der Abfallbehälter ist eine Variable.
Die Aufgabenstellung gibt nicht vor das es

1 m

ist, man hat lediglich ein Blech mit der Größe

4 m x 1 m

.
Niemand sagt, diese Blechbreite auch die Höhe der Behälter sein muss.

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17:57 Uhr, 07.09.2011

Hallo :-)
Ich weiß jetzt immernoch nicht so genau, was ihr meint,jedenfalls haben wir das heute in der Schule besprochen, und meins war richtig.
Jemand von Euch (ich weiß jetzt nicht mehr genau wer) schrieb, dass, so wie ich es ausgerechnet habe, nicht den maximalen flächeninhalt sondern den minimalen Flächeninhalt ausgerechnet habe.
Aber in der Schule heute, war es richitg, so wie ich es hatte...

Trotzdem vielen, lieben Dank, an all Eure Geduld :-)

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17:58 Uhr, 07.09.2011

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