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Extremwertaufgaben

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Maximalwert

susu77 aktiv_icon

16:56 Uhr, 17.01.2012

Hallo Leute,

die Ferien sind vorbei und ich stecke wieder in einer tiefen Kriese!

Ich hoffe jemand kann mir helfen, denn ich verstehe diesmal GAR NICHTS.

Aufgabe: Ein Sportplatz besteht aus der rechteckigen Spielfläche mit zwei ausgesetzten Halbkreisen. Der Gesamtumfang beträgt

400 m

. Wie müssen die Länge und Breite des Spielfeldes gewählt werden, damit die Fläche des Spielfeldes maximal wird?

Ich weiß dass ich eine Haupt- und eine Nebenbedingung brauche. Den radius des Kreises ausrechenen muss und die Formel für das rechteck. Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären wie ich auch allgemein vorgehen muss?

: \frac{-}{}

Lieben Gruß,

Susu

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

BeeGee aktiv_icon

17:12 Uhr, 17.01.2012

Hallo!

Die rechteckige Spielfläche habe die Länge

x

und die Breite

2 r

(Durchmesser der beiden Halbkreise).

Dann ist der Umfang:

U = 2 \cdot π \cdot r + 2 x

Die Flächenfunktion lautet (Fläche des Spielfeldes = nur das Rechteck):

A (r, x) = 2 \cdot r \cdot x

Jetzt kannst Du (da

U

gegeben ist), die obere Nebenbedingung verwenden, und

z . B

x

als Funktion von

r

ausdrücken. Diese Beziehung setzt Du in die Flächenfunktion ein, die dann nur noch

r

als Variable hat, und suchst das Maximum.

Kommst Du so weiter?

susu77 aktiv_icon

18:15 Uhr, 17.01.2012

Das kann ich so nicht ganz nachvollziehen.

Der Lehrer hat das nämlich so vorgerechnet:

HB:

A (x, y) = x \cdot y

NB:

2 x + 2 \cdot π \cdot r = 400

x = 200 - π \cdot r

A (r) = (200 \cdot π \cdot r) \cdot 2 \cdot r = 400 r - 2 \cdot π \cdot r^{2}

A' (r) = 400 - 4 \cdot π \cdot r

A'' (r) = - 4 \cdot π \cdot r

... ... .

BeeGee aktiv_icon

18:21 Uhr, 17.01.2012

Ja, das sieht doch meinem Ansatz verdächtig ähnlich, oder?

susu77 aktiv_icon

18:26 Uhr, 17.01.2012

stimmt. Jetzt sehe ich das auch. Ich versuche das mal alleine durchzurechnen. Bzw. die einzelnen Schritte nachvollziehen.

Danke

)))

BeeGee aktiv_icon

18:27 Uhr, 17.01.2012

Okay, wenn Du noch Fragen hast, stell sie ruhig...

susu77 aktiv_icon

19:06 Uhr, 17.01.2012

Ok. Kann die Schritte alle größtenteils nachvollziehen.

nach der Nebenbedingung: folgt da noch eine zweite Nebenbedingung?

Und:

Ich muss ja dann

400 - 4 \cdot π \cdot r = 0

setzen. Wie rechne ich das mit

π \cdot r

? Bzw. WIe löse ich nach

r

auf???

Atlantik aktiv_icon

19:17 Uhr, 17.01.2012

400 - 4 \cdot Π \cdot r = 0 | + 4 \cdot Π \cdot r

400 = 4 \cdot Π \cdot r | : 4 \cdot Π

r = \frac{100}{Π}

Übrigens ist die 2. Ableitung nicht A´´(

r) = - 4 \cdot Π \cdot r

sondern A ´´

(r) = - 4 \cdot Π

. Da

- 4 \cdot Π < 0

Das zeigt jetzt auch dass bei

r = \frac{100}{Π}

ein Maximum vorliegt.

mfG

Atlantik

susu77 aktiv_icon

19:38 Uhr, 17.01.2012

Oh danke danke danke danke :-)))

susu77 aktiv_icon

19:46 Uhr, 17.01.2012

Die Rechnung habe ich jetzt soweit verstanden... denke ich zumindest.

Aber ich habe damit ja nur die Maximale Fläche ausgerechnet..

Wie formuliere ich den Antwortsatz?

Muss ich da nicht noch irgendwo das