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Extremwertbeispiel (Kontrolle) ...

Schüler

Tags: Kontrolle benötigt

tompo7 aktiv_icon

18:16 Uhr, 09.05.2015

Servus Leute,
Ich habe gerade folgendes Beispiel gelöst, es ist jedoch falsch bitte klärt mich auf

. .

. :-D)

Ein Getränk soll in zylinderförmigen Dosen mit einer Füllmenge von

0,75

dm³ angeboten werden. Aus produktionstechnischen Gründen ist ein Leerraum von

50

cm³ vorzusehen. Ermittle, bei welchen Abmessungen der Materialverbrauch für eine Dose am geringsten ist.

Hauptbedingung

O (r, h) = 2 r^{2} \cdot π + 2 r \cdot π \cdot h \to

Min.
Nebenbedingung

V = 750 + 50 = 800

cm³

V = 800 = r^{2} \cdot π \cdot h

h = \frac{800}{π \cdot r^{2}} \to

H

O (r) = 2 r^{2} \cdot π + 2 r \cdot π \cdot \frac{800}{π \cdot r^{2}}

O (r) = 2 r^{2} \cdot π + \frac{1600}{r}

O^{'} (r) = 4 r \cdot π - \frac{1600}{r^{2}}

0 = 4 r \cdot π - \frac{1600}{r^{2}}

r = \frac{1600}{4 \cdot π} \to

Ist das richtig ?

h =

selbes Spiel nur mit

O^{'} (r) = 0

Vielen Dank im vorraus

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:31 Uhr, 09.05.2015

>

0'=4r⋅π-1600/r^2
Bis hierher noch alles OK.
Den für

r

gültigen Bereich solltest du noch angeben, denn diese Ränder müssen nachher, wenn es um das globale Minimum geht, noch getrennt untersucht werden. Theoretisch könnte sich da ja ein noch geringerer Materialbedarf einstellen, ohne dass

O'

an der Stelle Null sein muss.
Bei diesem Beispiel ist es natürlich trivial, denn sowohl für

r = 0,

als auch für

r \to \infty

strebt der Materialbedarf über alle Grenzen.

> r = \frac{1600}{4 \cdot π}

→ Ist das richtig ?
Nein! wie kommst du da drauf? Bring den Term für

O'

erst auf einen Bruch, bevor du Null setzt (und schreib auch hin, dass du

O'

Null setzt und begründe warum).
Richtig wäre

r^{3} = . .

.
Wenn du die Einheiten bei deiner Rechnung mitgenommen hättest, hättest du vermutlich selbst erkannt, dass

r

nicht die Dimension Volumen haben kann.

> h =

selbes Spiel nur mit

O' (r) = 0

???????????
Keine Ahnung was du da meinst. Wenn du

r

hast, bekommst du

h

doch direkt aus der obigen Umformung

h = \frac{800}{π \cdot r^{2}}

>

Vielen Dank im vorraus

. .

...

. im Voraus

. .

!!!

Gruß

R

tompo7 aktiv_icon

18:45 Uhr, 09.05.2015

Danke Roman für deine Hilfe,

Ich habe leider nicht ganz verstanden wie Ich das jetzt angehen soll (bin echt ne Null in Mathe)

. .

.

"Bring den Term für O′ erst auf einen Bruch, bevor du Null setzt (und schreib auch hin, dass du O′ Null setzt und begründe warum).
Richtig wäre r3=..."

Man setzt deswegen Null weil man so Hoch und Tiefpunkte (Extremstellen) berechnen kann !

Und ja das

h

kann einfacher berechnet werden hab Ich erst jetzt bemerkt

. .

.

Danke und lg. Tom

Roman-22

19:17 Uhr, 09.05.2015

Hmm, Hauptbedingung, Nebenbedingung, Variable eliminieren und Ableiten .. alles kein Problem, aber diese Gleichung

0 = 4 r π - \frac{1600}{r^{2}}

ist die wahre Hürde? Da solltest du jetzt schnell einen kleinen Schritt zur Seite gehen, denn du scheinst auf einer dicken Leitung zu stehen ;-)

Machen wirs vl anders, bringen wird den zweiten Summanden nach links

\frac{1600}{r^{2}} = 4 r π

und multiplizieren jetzt die Gleichung mit

r^{2}

. Das dürfen wir, denn es muss ja ohnedies

r > 0

gelten. In eine Dose mit Radius Null bringen wir ja keinen Tropfen hinein, geschweige denn

0.75

Liter

+ 50

cm^3 Luft.

1600 = 4 r^{3} π

und jetzt noch durch

4 π

dividieren und die Seiten vertauschen liefert

r^{3} = \frac{400}{π}

und somit

r = \sqrt[3]{\frac{400}{π}} = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{50}{π}} \approx 5,031

cm.

Und dann stellt sich auch noch

h = 2 r

ein.

Gruß

R

tompo7 aktiv_icon

10:16 Uhr, 10.05.2015

Ok danke jetzt hab Ich's verstanden

. .

.

Lg. Tom
PS. noch ein schönes We

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