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Extremwertbestimmung durch quadratisches Ergänzen

Schüler Fachschulen, 8. Klassenstufe

Tags: Übriges

anonymous

14:22 Uhr, 15.01.2007

Hallo, ich bin jetzt mal keine Schülerin mehr (zu alt ;-)), aber ich möchte meinem Sohn dieses Thema erklären, kann es aber im Moment nicht (bin schon über 20 Jahre aus der Schule raus. Wie kann man jemandem beibringen, wie man Extremwerte bestimmt (wenn mans vielleicht selbst nicht 100%ig kann)?

Sams83 aktiv_icon

14:49 Uhr, 15.01.2007

Extremwerte in der 8.Klasse?

laura

16:54 Uhr, 15.01.2007

extremwerte

Z.B.: 5x²+2x+6

=5(x²+0,4x+1,2) (alles was bei x²steht muss man ausklammern:

alles durch das ausgeklammerte teilen !)

=5[(x²+0,4x+0,2²)-0,04+1,2] (quadratische ergänzung: man muss von der Zahl die beim x steht die hälfte nehmen dann quatrieren und zuerst addieren danach die quatrierte Zahl subtrahieren.)

=5[(x+0,2)²+1,16] (dann die binomische formel umwandeln)

=5(x+o,2)²+5,8 (eckige klammer auflösen)

Tmin=5,8 für x=-0,2 (wenn vor der (5) ein minus steht, dann Tmax und wenn nichts vor der (5) steht dann Tmim. für Tmin schreibt mann die zahl die an letzter stelle der gleichung steht und für x schreibt mann die zahl die in der mitte der gleichung steht, aber mann muss das zeichen umdrehen alst wenn +0,2 steht, dann schreibt man -0,2 für x)

Element2 aktiv_icon

15:38 Uhr, 18.01.2009

Kann jemand folgende Rechnung berechnen:

0,8 (x + 5) \cdot (x - 5)

JeanetteE aktiv_icon

16:29 Uhr, 18.01.2009

Zur Ausgangsfrage:

Durch quadratische Ergänzung erhälst du automatisch eine Form, (die sog. Scheitelpunktsform),welche dir ermöglicht Extremwerte abzulesen:
So gelangt du von der

Normalform

f (x) =

ax^2+bx+c

in die

Scheitelpunktsform

f (x) = a {(x - d)}^{2} + e

Die Variablen

d

und

e

stehen hier für den Extremwert

(d | e)

.

Beispiel:

Die Funktion

f (x) = 2 x^{2} + 12 x + 22

wir mit Hilfe der quad. Ergänzung berechnet:

f (x) = 2 x^{2} + 12 x + 22 | 2

ausklammern

\Leftrightarrow f (x) = 2 (x^{2} + 6 x + 11) |

mit

{(\frac{6}{2})}^{2}

ergänzen

\Leftrightarrow f (x) = 2 (x^{2} + 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + 11) |

zusammenfassen mit hilfe der bin. formel

\Leftrightarrow f (x) = 2 [{(x + 3)}^{2} - 9 + 11] |

faktorisieren

\Leftrightarrow f (x) = 2 {(x + 3)}^{2} + 4

Ausgehend von der Grundgleichung

f (x) a {(x - d)}^{2} + e

erhalten wir die Extremstelle

(- 3 | 4)

f (x) = 2 {(x + 3)}^{2} + 4

__{_}__{}

Zur Aufgabe:

0,8 (x + 5) (x - 5)

wird mit bin. zusammengefasst

wir erhalten

0,8 (x^{2} - 25) = 0

wir lösen die klammer und erhalten

0,8 x^{2} - 20 = 0

mit äquivalenzumformung

+ 20 | 0,8 x^{2} = 20

/ 0,8 | x^{2} = 25

wurzel ziehen

| x = \pm 5

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