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Extremwertproblem

Schüler

Tags: Analysis, Differentialrechnung, Extremwertaufgabe

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12:13 Uhr, 15.12.2012

Einer Kugel wird ein gerades Prisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche einbeschrieben. Wie gross ist das maximal mögliche Prismavolumen?

Ich habe keine Ahnung davon! Wäre froh um eine Musterlösung! Danke!
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

12:40 Uhr, 15.12.2012

Eine Querschnittszeichnung kann helfen.
Im Querschnitt sieht man unten die Seite des gleichseitigen Dreiecks als waagrechte Strecke,

\frac{s}{2}

ist rot markiert.
Das Prisma selbst erscheint im Querschnitt als Rechteck,

\frac{h}{2}

ist blau markiert.

anonymous

12:48 Uhr, 15.12.2012

Das Volumen eines Prismas erhalte ich mit

V = G \cdot h

Hier also

V = \frac{s^{2}}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot h

Das Volumen soll ein Maximum werden. Da ich zwei Variable habe

(s

und

h)

brauche ich noch eine Nebenbedingung.
Die ergibt sich

z . B

. aus dem elementargeometrischen Höhensatz im rechtwinkeligen Dreieck ( grün markiert )
Höhensatz: in einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
In unserem Beispiel

{(\frac{s}{2})}^{2} = (r + \frac{h}{2}) \cdot (r - \frac{h}{2})

{(\frac{s}{2})}^{2} = r^{2} - {(\frac{h}{2})}^{2}

\frac{s^{2}}{4} = r^{2} - \frac{h^{2}}{4}

Diesen Term setze ich in die Volumsformel ein und erhalte so eine Funktion in

h

.
Differenzieren, 0 setzen und fertig.

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