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Extremwertproblem
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Extremwertaufgaben, Optimierung
 
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Also es tut mir wahnsinnig leid, aber ich komme mal wieder nicht mit meinen Mathe-Hausaufgaben weiter. Zuerst einmal die Aufgabe. "Aus einem 36 cm langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?" Na ja also ich dachte das Ganze soll eine Säule werden, nur keine Runde sondern mit vier Seiten. Und außerdem, dass der "Boden und die Decke" quadratisch sind. Da könnte schon der erste Fehler sein, bin mir nämlich nicht sicher. So dann habe ich die Breite a genannt, die Höhe b, und die Länge c (obwohl die ja genauso so groß sein muss wie a), aber als ich das ganze mit einem Parameter gerechnet habe, kam nichts raus, also dachte ich mir brauche ich vielleicht zwei Parameter. V=a*b*c also 4a*4b*4c=36 4(a+b+c)=36 c=-a-b+9 V(a.b)=(-a-b+9)*a*b Definitionsbereich habe ich dann 0<a,b,c<9 Tja und dann wollte ich die Parameter einsetzen bzw. Extremstellen ausrechnen, aber es kam 0 raus. Vielleicht sieht ja jemand wo mein Fehler ist und kann mir helfen!?! Vielen Dank im Voraus. |
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Hallo Bohemian,
ich würde die Aufgabe so angehen: Die Säule hat einen quadratischen Boden und eine quadratische Decke, d.h. Länge und Breite sind identisch. Die Höhe ist beliebig. a:=Länge=Breite b:=Höhe
a tritt insgesamt 8mal als Kante auf, b 4mal, so dass gilt: 8a+4b=36 Das Volumen V berechnet sich als V=a^2*b. Jetzt darfst Du V nicht nur nach einer Variablen ableiten(da kommt dann beim Maximieren natürlich 0 raus!), sondern Du musst berücksichtigen, dass V von zwei Variablen a und(!)b abhängt. Am einfachsten wird es, wenn man V nur durch eine Variable ausdrückt: 8a+4b=36 <=> b=9-2a Also: V= a^2*(9-2a)= 9 a^-2a^3 Jetzt kann V zum Optimieren nach a abgeleitet und die Ableitung 0 gesetzt werden: 18a-6a^2=0 <=> a*(18-6a)=0 Eine Lösung ist a = 0, die führt jedoch zum Minimum (wird keine Säule gebaut ist kein Volumen vorhanden), so dass nur die zweite Lösung 18-6a=0 zu berücksichtigen ist: a=3 und b=9-2*3=3
Das größte Volumen ergibt sich also, wenn Länge=Breite=Höhe gilt.
Hoffe, das hilft Dir weiter. Entschuldige die schlechte Schreibweise, aber der Formeleditor funktioniert bei mir nicht richtig. Gruß, Robbie |
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Hallo, so ähnlich hab ich das Problem auch gelöst. Dein Fehler war Folgender: "So dann habe ich die Breite a genannt, die Höhe b, und die Länge c (obwohl die ja genauso so groß sein muss wie a)" Das ist der Punkt, wenn 2 Seiten gleich lang sind musst du sie auch gleich nennen, dann hast du am Ende auch keine Variable übrig;) Statt V=a*b*c hättest du dann V=a²*b und statt a+b+c=9 (= 4(a+b+c)=36 ) hast du dann 2a+b=9. |
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anonymous 23:32 Uhr, 20.08.2007 |
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Hi,
Extremalbedingung (maximieren) V(a,b) = a²*b
Nebenbedingung 36 = 8a + 4b b = -2a + 9
Zielfunktion V(a) = a²(-2a + 9) V(a) = -2a³ + 9a² V'(a) = -6a² + 18a
Um die Extrema zu bestimmen setzt man die erste Ableitung der Funktion gleich Null und bestimmt a.
0 = -6a² + 18a 0 = a² -3a a1,2=3/2 +- √(3/2)² a1=3 a2=0
a=0 ist als Kantenlänge nicht brauchbar, deshalb nehmen wir a=3. Um die länge von b zu bestimmen setzten wir a in die Nebenbedingung ein. Daraus ergibt sich b=3.
Um das maximale Volumen zu bestimmen setzten wir a=3 und b=3 in die Extremalbedingung ein. Daraus ergibt sich V=27.
Ergebnis Aus dem 36 cm langen Draht sollte eine quadratische Säule geformt werden, deren Kanten alle 3 cm lang sind (Würfel), damit die Säule ein maximales Volumen von 27 besitzt.
Edit: Hab nich gesehn, dass schon geantwortet wurde. *g* |
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| Vielen Dank euch Allen. Ich glaube ich habe einfach zu kompliziert gedacht. |
