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Extremwertproblem: Lagerhaus

Schüler Gymnasium, 5. Klassenstufe

Tags: Aufgabe, Aufgabe 12.Klasse, Extremwertproblem, Mathematik, schwer

Bitpull94 aktiv_icon

14:51 Uhr, 24.09.2010

hi kann mir jmd nen ordentlichen denkanstubs geben für das lösen der aufgabe?

Auf einem dreieckigen Grundstück soll eine rechteckige lagerhalle gebaut werden. bestimmen sie für fälle A und

B

die grötmögliche Fläche der Halle, wenn diese

a)

bis zur grundstücksgrenze reichen darf
b)uninteressant

fall A konnte ich mit hilfe des strahlen satzes lösen bei Fall

B

hab ich kein plan wie ich an die Zielfunktion komme, also ich brauche nur die nebenbedingungen dafür mehr nicht den rest schaffe ich alleine ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Shipwater aktiv_icon

16:41 Uhr, 24.09.2010

Hi,

die Aufgabe ist gar nicht mal so einfach. Ich habe entsprechenden Längen bzw. Geraden mal Namen gegeben, wie du dem angefügten Bild entnehmen kannst. Über den Strahlensatz gilt nun erstmal

\frac{100 m}{60 m} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow c = \frac{3}{5} b

Nun lege ich "gedanklich" ein Koordinatensystem an, indem die linke, untere Ecke des Dreiecks den Ursprung darstellt.

y_{1}

enthält dann die Punkte

P_{1} (0 | 60)

und

P_{2} (80 | 0)

. Die allgemeine Geradengleichung lautet

y = m x + b

. Der y-Wert von

P_{1}

ist der y-Achsenabschnitt

b,

weswegen schonmal

y_{1} = m x + 60

gilt. Durch Einsetzen von

P_{2} (80 | 0)

kann man dann schließlich noch

m

ermitteln:

0 = 80 m + 60 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{4}

Die Geradengleichung von

y_{1}

lautet also

y_{1} = - \frac{3}{4} x + 60

y_{2}

ist parallel zu

y_{1},

was mathematisch bedeutet, dass die Steigungen identisch sind. Desweiteren hat

y_{2}

den y-Achsenabschnitt

c

. Für die Geradengleichung gilt also

y_{2} = - \frac{3}{4} x + c

. Mit dem Strahlensatz habe ich oben

c = \frac{3}{5} b

hergeleitet, also ersetze ich dies und erhalte

y_{2} = - \frac{3}{4} x + \frac{3}{5} b

Was hat das ganze gebracht? Nunja ich lege jetzt eine orthogonale Ursprungsgerade zu

y_{1}

und

y_{2}

an. Diese schneidet

y_{1} i n S_{1}

und

y_{2} i n S_{2}

. Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte entspricht nun

a,

also

\bar{S_{1} S_{2}} = a

.
Für die Steigungen

m_{1}

und

m_{2}

zweier orthogonaler Geraden gilt

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

also hier

- \frac{3}{4} \cdot m_{2} = - 1 \Leftrightarrow m_{2} = \frac{4}{3}

Die orthogonale Ursprungsgerade zu

y_{1}

und

y_{2}

lautet demnach

y_{3} = \frac{4}{3} x

Nun berechne ich zuerst den Schnittpunkt

S_{1}

von

y_{1}

und

y_{3} :

- \frac{3}{4} x + 60 = \frac{4}{3} x

60 = \frac{25}{12} x

28,8 = x

y = \frac{4}{3} x = \frac{4}{3} \cdot 28,8 = 38,4

\Rightarrow S_{1} (28,8 | 38,4)

Und nun den Schnittpunkt

S_{2}

von

y_{2}

und

y_{3} :

- \frac{3}{4} x + \frac{3}{5} b = \frac{4}{3} x

\frac{3}{5} b = \frac{25}{12} x

0,288 b = x

y = \frac{4}{3} x = \frac{4}{3} \cdot 0,288 b = 0,384 b

\Rightarrow S_{2} (0,288 b | 0,384 b)

Nun gilt schließlich

a = \bar{S_{1} S_{2}} = \sqrt{{(38,4 - 0,384 b)}^{2} + {(28,8 - 0,288 b)}^{2}} =

\sqrt{1474,56 - 29,4912 b + 0,147456 b^{2} + 829,44 - 16,5888 b + 0,082944 b^{2}} = \sqrt{2304 - 46,08 b + 0,2304 b^{2}} =

\sqrt{{(48 - 0,48 b)}^{2}} = 48 - 0,48 b

Aus der Hauptbedingung

A (a; b) = a \cdot b \to m a x

wird also die Zielfunktion

A (b) = (48 - 0,48 b) \cdot b

welche du auf Maxima untersuchen musst.
Den Rest wolltest du ja alleine machen ;-)

Gruß Shipwater

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