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Extremwertproblem Medikamentenschachtel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertproblem

dolphin13 aktiv_icon

16:55 Uhr, 26.09.2011

Meine Frage:
Für ein Vitaminpräparat soll eine neue Schachtel entworfen werden. Sie soll für die bunten Vitaminperlen

48

cm^3 Raum bereithalten. Ihre Breite sei

x,

ihre Tiefe

y

und ihre Höhe

\frac{x}{4}

. Die Schachtel funktioniert wie eine Streichholzschachtel. Sie besteht aus einem oben offenen ausziehbaren Behälter und einer umgebenden Schiebehülle.
Wie müssen die Maße der Schachtel gewählt werden, damit der Materialverbrauch minimal wird?
(Aus der Schachtel werden die Ecken im Anschluss herausgeschnitten)
Beim Lösen dieser Extremwertaufgabe komme ich irgendwie nicht weiter...

Bisher habe ich schon mal die Hauptbedingung:

O = (x + 2 \cdot \frac{x}{4}) \cdot (y + 2 \cdot \frac{x}{4}) + (2 x + 2 \cdot \frac{x}{4}) \cdot y

= 4xy+0,75x^2

Und die Nebenbedingung:

V = x \cdot y \cdot \frac{x}{4} = 48

Ergibt das umgestellt

y = 48 : \frac{x^{2}}{4}

???

Die Funktion wäre nach meiner Nebenbedingung:

O (y) = 4 x \cdot (48 : \frac{x^{2}}{4}) + 0.75 x^{2}

Nur wie löst man jetzt die Klammer auf, um die endgültige Funktion zu bekommen???

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

17:18 Uhr, 26.09.2011

Deine Umstellung ist richtig, aber die Hauptbedingung scheint mir fehlerhaft. Die Innenschachtel besteht aus dem Boden

x \cdot y, 2

Längsseiten

y \cdot \frac{x}{4}

und 2 Querseiten

x \cdot \frac{x}{4}

. Die Umhüllung hat Boden und Deckel jeweils

x \cdot y

und 2 Längsseiten

y \cdot \frac{x}{4},

aber vorne und hinten ist sie offen, daher keine Querseiten

x \cdot \frac{x}{4}

. Insofern müsste es

4 \cdot x \cdot y + \frac{1}{2} \cdot x^{2}

heißen.Jetzt

y = \frac{48}{\frac{x^{2}}{4}}

einsetzen, also

y = \frac{192}{x^{2}}

. Ergibt

a = 4 \cdot x \cdot \frac{192}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot x^{2}

bzw.

A = \frac{768}{x} + \frac{1}{2} \cdot x^{2},

für den Rest einfacher als

768 \cdot x^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot x^{2}

geschrieben.Wie soll es dann weitergehen ?

noobi123 aktiv_icon

17:25 Uhr, 26.09.2011

Hallo,

also für die Oberfläche habe ich etwas anderes ausgerechnet (vielleicht habe ich mich aber auch verrechnet): wir haben

2

Flächen mit Seitenlängen

x

und

\frac{x}{4}

2

Flächen mit Seitenlängen

x

und

y

und

2

Flächen mit Seitenlängen

\frac{x}{4}

und

y

, macht zusammen:

O = 2 \cdot x \cdot \frac{x}{4} + 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{2} x y

.

Für

V = x \cdot y \cdot \frac{x}{4} = 48

ergibt das

y = 48 : \frac{x^{2}}{4}

. Teilen durch einen Bruch kann man ja leicht ausrechnen, indem man mit dem

K e h r w e r t

multipliziert. Das heißt

y = 48 : \frac{x^{2}}{4} = 48 \cdot \frac{4}{x^{2}}

.
Eingesetzt in

O

ist das also

O = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{2} x y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{480}{x} .

Edit: Ignoriere meine Rechnung für

O

, ich habe die Schachtel nicht richtig verstanden ^^

dolphin13 aktiv_icon

17:28 Uhr, 26.09.2011

Ich habe jetzt mal die Zeichnung der Aufgabe eingescannt...
Denn irgendwie bin ich durch die zwei verschiedenen Antworten ein bisschen verunsichert und hoffe die Zeichnung hilft euch weiter...

prodomo aktiv_icon

17:35 Uhr, 26.09.2011

Bild passt zu meinem Ansatz, beim Weiterrechnen kommt auch für den Minimalwert das Volumen

48

(gerundet ) heraus. Also folge ruhig dem Ansatz und erläutere, wie du weiter vorgehen willst.

dolphin13 aktiv_icon

17:54 Uhr, 26.09.2011

Nur wie kommt man zu diesem Ansatz

O = 4 \cdot x \cdot y + 0,5 \cdot x^{2}

Warum

4 \cdot x \cdot y;

es gibt doch nur den Boden der Schachtel und den Boden und Deckel der Hülle... Und wie genau kommt man auf

0,5 \cdot x^{2}

?

Also danach mache ich so weiter:

O' (x) = - 768 \cdot x^{- 2} + x

und

O'' (x) = 1536 \cdot x^{- 3} + 1

aus

O'

folgt mit der notwendigen Bedingung, dass

x = 9,158

ist.
Da

0'' (9,158) \geq 0

ist

x

ein Tiefpunkt und damit der Materialverbrauch mit

x = 9,158

minimal...
Aber damit wäre ja

y = 2,29

und

h = 2,29

gleich groß... Da kann irgendetwas nicht stimmen, aber wo???

Und wie kommt man zu der Ansatz der Hauptbedingung???

dolphin13 aktiv_icon

18:03 Uhr, 26.09.2011

Obwohl das eingesetzt in das Volumen passen würde....
Nur da ich das Ganze morgen vorstellen muss, wäre ich über eine Erklärung zur Hauptbedingung sehr glücklich...=)

dolphin13 aktiv_icon

18:12 Uhr, 26.09.2011

Bin jetzt doch von alleine auf die Bedingung gekommen...
Das einzige, was bei meinem Ansatz anders war, ist ,dass ich noch die Ecken der Schachtel mitgerechnet habe...

Danke für die Hilfe!!!

921202

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