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Faire Münze Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Münzwurf Wahrscheinlichkeit

yellowman

10:47 Uhr, 20.02.2021

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Wir werfen eine faire Münze solange bis zum ersten Mal Kopf erscheint, aber höchstens zehnmal. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der Würfe bei denen Zahl erscheint. Bestimme die Zähldichte und den Erwartungswert von X. Beim Erwartungswert genügt es eine endliche Summe anzugeben ohne diese weiter auszurechnen.

Meine Ideen: Ich denke hier wird die geometrische Summenformel benötigt.
Für die Zähldichte bei 10 mal werfen einer fairen Münze müsste die Zähldichte

P (X \leq 10) = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{10} (\frac{1}{2})^{k - 1}

sein.
Wenn ich die Summe einmal ausrechne erhalte ich

P (x \leq 10) = \frac{1023}{1024} \approx 0, 999

Das heißt also das nach 10 mal werfen einer Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von

0, 999

mindestens einmal Kopf erscheint.

Der Erwartungswert

E (x) = \sum x \cdot P (x = k) = \sum_{k = 1}^{1} 0 k \cdot 0, 999 = 0, 999 \sum_{k = 1}^{10} k

Passt das soweit?

LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:58 Uhr, 20.02.2021

Die WKT mindestens 1-mal Kopf beträgt mit Bernoulli:

1 - {0,5}^{10} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{10} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}

Das deckt sich mit deinem Ergebnis.

vgl:
www.mathebibel.de/wahrscheinlichkeitsfunktion

Matlog aktiv_icon

11:43 Uhr, 20.02.2021

Sorry, aber ich kann da kaum etwas erkennen, was richtig wäre!

Auf den ersten Blick erkenne ich das Ereignis

X \leq 10

als sicheres Ereignis, also

P (X \leq 10) = 1

. Außerdem ist ein Erwartungswert weit über

50

doch nicht in einer passenden Größenordnung.

Aber von vorne:
Du sollst eine Zähldichte von

X

angeben.
Dann musst du dir überlegen, welche Werte

X

annehmen kann und dann für alle diese k-Werte

P (X = k)

angeben.

N8eule

11:43 Uhr, 20.02.2021

Hallo
Auch hier wieder wird es gescheit sein, nicht gleich mit Formeln zu wirbeln, sondern erst mal Schritt für Schritt Zugang zu verschaffen.

Was heißt denn dieses kryptische "p(X=0)" in verständlichen Worten?
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit hierfür?

Was würde denn "p=(X=1)" in verständlichen Worten bedeuten?
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit hierfür?

Kannst du hieraus die allgemeine Formel für

p (X)

benennen?

Gibt es eine Ausnahme hierzu?

Nun zu deinem

a)

"Wenn ich die Summe einmal ausrechne(,) erhalte ich

P (x \leq 10) = \frac{1023}{1024}

"
und deiner Schlußfolgerung

b)

"Das heißt also(,) das(s) nach 10mal Werfen einer Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von

0,999

mindestens einmal Kopf erscheint."

zu

a)

Denk mal nüchtern drüber nach. Welche Werte kann

X

eigentlich annehmen?
Was würdest du also für

p (X \leq 10)

erwarten?

PS:

>

da habe ich mich wohl mit Matlog überschnitten

. .

. :-)

>

Ich bin sicher, wenn wir erst mal so weit sind, wird uns der Erwartungswert auch noch besser gelingen.

yellowman

16:27 Uhr, 20.02.2021

Also die Zähldichte muss 1 ergeben.

\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{10} (\frac{1}{2})^{k - 1} = \frac{1023}{1024}

... Das heißt also hier fehlt noch

\frac{1}{1024}

Das heißt also die Zähldichte müsste dann

\frac{1}{1024} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{10} (\frac{1}{2})^{k - 1}

sein... Sehe ich das richtig?

LG :-)

Roman-22

17:28 Uhr, 20.02.2021

Überlege doch mal, wie viele verschiedene Werte deine Zufallsvariable

X

annehmen kann.
Vielleicht hast du einen Fall vergessen ;-)

>

Also die Zähldichte muss 1 ergeben.
NEIN! Die Zähldichte (=Wahrscheinlichkeitsfunktion) ist eine Funktion, die jedem möglichen Wert für

X

eine Wahrscheinlichkeit zuordnet - es ist also NICHT einfach deine Summe, die du ursprünglich für

P (X \leq 10)

angegeben und als Zähldichte bezeichnet hast.
Und ja,

P (X \leq 10)

sollte bei richtigem Ansatz 1 ergeben.

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17:35 Uhr, 20.02.2021

Hallo,

ich gebe mal einen Tipp ab. Es ist richtig, dass

P (X = k) = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k - 1} \forall k = {1, 2, . . ., 9}

Was ist jetzt

P (X = 10)

? Das ist bei diskreten Zufallsvariablen

P (X = 10) = 1 - P (X \leq 9)

, da

P (X \leq 9) + P (X = 10) = 1

ist.

Gruß
pivot

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17:51 Uhr, 20.02.2021

Du benutzt dauernd diese "Formel"

\frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 1}^{10} {(\frac{1}{2})}^{k - 1},

ohne zu erklären, wo sie herkommt bzw. was sie berechnet!
Ich vermute, sie kommt von einer sehr ähnlichen Aufgabe.

Hier in dieser Aufgabe bezeichnet

X

die Anzahl der Zahlwürfe, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
Die Zufallsvariable

Y = X + 1

gibt die Nummer an, wann zum ersten Mal Kopf kommt.
Ich denke Yellowmans Formel bezieht sich auf dieses

Y

(und nicht auf

X),

was aber nur eine Indexverschiebung bewirkt.
Und auch pivot schreibt offensichtlich über das Y.

Nachtrag:
Also folge der Empfehlung von N8eule und benutze keine vorgefertigten Formeln, sondern bestimme selbst

P (X = k)

für alle relevanten

k,

was nicht so schwierig ist!

pivot aktiv_icon

18:17 Uhr, 20.02.2021

@Matlog
>>Und auch pivot schreibt offensichtlich über das Y.<<

Ja. Danke für die Korrektur, den Hinweis ♥

@Yellowman
Korrektur meines vorherigen Beitrags:

Es ist

P (X = k) = {(\frac{1}{2})}^{k + 1} \forall {0, 2, \dots, 8}

,
wenn

X

die Anzahl der Würfe bei denen Zahl erscheint ist.

Es gilt somit

P (X = 9) = P (X \leq 9) - P (X \leq 8)

Matlog aktiv_icon

18:24 Uhr, 20.02.2021

@pivot:
Leider immer noch nicht so ganz!

X = 10

ist hier auch möglich!

pivot aktiv_icon

18:35 Uhr, 20.02.2021

Ich sollte aufgeben.

2. Korrektur meines ersten Beitrags:

Es ist

P (X = k) = {(\frac{1}{2})}^{k + 1} \forall {0, 2, \dots, 9},

wenn X die Anzahl der Würfe bei denen Zahl erscheint ist.

Es gilt somit

P (X = 10) = P (X \leq 10) - P (X \leq 9)

.
Wenn es jetzt nicht richtig ist, dann weiß ich auch nicht mehr weiter. Bei der Aufgabe hätte ich wohl

0

Punkte erhalten.

Matlog aktiv_icon

18:45 Uhr, 20.02.2021

Ich könnte jetzt pedantisch sein und sagen, dass pivots Formel auch für

k = 1

gilt, aber das lassen wir lieber!

P (X = 10) = {(\frac{1}{2})}^{10}

kann man natürlich auch direkt berechnen.
Blöd ist nur, dass wir yellowman jetzt fast die komplette Arbeit (oder besser gesagt: Übung) abgenommen haben! Aber vielleicht kann er es nachvollziehen?!

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