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Faires Spiel - Einsatz für eine faire Wette

Universität / Fachhochschule

Tags: Einsatz, Erwartungswert, faires Spiel, Wahrscheinlichkeistberechnung, wette

Fingolfin aktiv_icon

12:03 Uhr, 12.05.2019

Hallo, ich bin nun wieder hier mit einer neuen Aufgabe. Der erste Teil habe ich (hoffentlich richtig) gelöst. Der zweite Teil fällt mir aber nicht so einfach.

Aufgabe:
"Karl und Karoline spielen ein Spiel, bei dem kein Unentschieden gibt und Karolines Gewinnchancen

0,6

betragen. Sie wollen das Spiel 10mal spielen. Karoline überlegt: "Am wahrscheinlichsten ist es, dass ich 6 Spiele gewinne. Da ich aber bei jedem Spiel im Vorteil bin, werde ich eher noch mehr als 6 Spiele gewinnen". Sie bietet Karl eine Wette an: "Wetten, dass ich mindestens 6 Spiele gewinne?"

a)

Wie groß sind Karolines Chancen, die Wette zu gewinnen?"

b)

Karoline setzt 3€. Wieviel sollte Karl dagegen setzen, damit die Wette fair ist?

Also zu

a)

bin ich so vorgegangen:

P(Karoline gewinnt genau

10

Spiele)

= (\begin{matrix} 10 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(0,6)}^{10} \cdot {(1 - 0,6)}^{0} = 0,00604

usw.

P (G = 9) = (\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {(0,6)}^{9} \cdot {(1 - 0,6)}^{1} = 0,04031

P (G = 8) = (\begin{matrix} 10 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(0,6)}^{8} \cdot {(1 - 0,6)}^{2} = 0,12093

P (G = 7) = (\begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {(0,6)}^{7} \cdot {(1 - 0,6)}^{3} = 0,21499

P (G = 6) = (\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(0,6)}^{6} \cdot {(1 - 0,6)}^{4} = 0,25082

Also

P (G \geq 6) = P (10) \cup P (9) \cup P (8) \cup P (7) \cup P (6) = 0,00604 + 0,04031 + 0,12093 + 0,21499 + 0,25082 = 0,63309

Nun zu

b)

GewinnWKT

0,63309 0,36691

Karoline

3

€

- 3

€
Karl

- x

€

x

€

Ist diese Verteilung richtig? Was soll ich nun tun? Wenn ich den Erwartungswert vom Gewinn von Karoline berechne habe ich:
E(Gk)

= + 3 \cdot 0,63309 + (- 3) \cdot 0,36691 = 0,79854

Aber was mache ich damit? Es ist schon so nicht fair. Soll ich vielleicht einen Einsatz für Karl finden, dessen

E

auch

0,79854

beträgt?

Danke für die Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:23 Uhr, 12.05.2019

3 \cdot 0,63309 - x \cdot 0,36691 = 0

Gesucht ist der Betrag, den Karl setzen muss.

Fingolfin aktiv_icon

12:49 Uhr, 12.05.2019

Ja, daran hatte ich gedacht.

3 \cdot 0,63309 + (- x) \cdot 0,36691 = 0

x \approx 5,17639

Ich verstehe aber nicht, wieso dieser Betrag ein fairer Einsatz wäre...
Also es wäre für Karl fair, aber es bleibt für Karoline unfair...oder?

supporter aktiv_icon

12:53 Uhr, 12.05.2019

Das Ganze muss sich ausgleichen (=zu Null werden). Durch den höheren Einsatz gleich Karl seine geringere WKT aus (langfristig).

Fingolfin aktiv_icon

12:57 Uhr, 12.05.2019

Also ist es tatsächlich unfair für Karoline am Anfang, aber "langfristig" wird es sich ausgleichen. Habe ich es richtig verstanden?

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13:05 Uhr, 12.05.2019

Karolin gewinnt zwar öfter, aber dafür weniger pro Spiel. Insgesamt gleich sich das langfristig aus.

Roman-22

13:07 Uhr, 12.05.2019

Sind wir uns einig darüber, dass beide Spieler einen Einsatz tätigen und der Gewinner den Pot gewinnt. Der Nettogewinn eines Spielers ist also der Einsatz des Gegners.
Damit die Sache fair bleibt, muss doch der Spieler mit der geringeren Gewinnchance auch einen geringeren Einsatz tätigen, oder?
Damit wäre Karls Einsatz

\frac{3582976}{2060883}

€

\approx 1,74

€

Am einfachsten zu ermitteln mittels gewöhnlichem Dreisatz:
Wenn Karelins WKT

P \approx 63,31 %

dem Einsatz 3€ entspricht, welchem Einsatz entspricht dann die WKT

1 - P \approx 36,69

?
Also

x = \frac{1 - P}{P} \cdot 3

€

= (\frac{3}{P} - 3)

€
Anders formuliert: Die Einsätze stehen im gleichen Verhältnis wie die Gewinnchancen.

Fingolfin aktiv_icon

14:52 Uhr, 12.05.2019

Das war mein Problem. Also es geht hier um zwei Sachen: Faires Spiel für (ausschließlich) Karl und faire Wette für das ganze Spiel (also die ganze Sache). Im ersten Fall wäre es

\approx 5,17

€, im zweiten Fall

\approx 1,74

€.
Habe ich es richtig verstanden?

Wir hätten dann
E(G-Karl)

= (- 1,74) \cdot 0,63309 + (+ 3) \cdot 0,36691 = - 0,0008466

E(G-Karoline)

= (+ 1,74) \cdot 0,63309 + (- 3) \cdot 0,36691 = + 0,0008466

anonymous

17:26 Uhr, 12.05.2019

Der Vollständigkeit halber:
Die Formel
(3€)/0.6331

- \frac{x}{1 - 0.6331} = 0

wäre das gewesen, wonach ihr suchtet...

Deine letzte Kontrollrechnung, Fingolfin, wäre aufgegangen

(d . h

. fair zu Null geworden), wenn du statt gerundeter Werte genauere Werte genutzt hättest.

Roman-22

17:49 Uhr, 12.05.2019

>

Also es geht hier um zwei Sachen
Nein!
Die von supporter vorgeschlagenen €

5,17

sind keine Lösung der Aufgabe.

>

Faires Spiel für (ausschließlich) Karl
Was sollte bei einem Zweipersonen-Spiel denn bedeuten, dass das Spiel für nur einen Spieler fair ist????

Gleichungen, die auf den gewünschten Wert führen, kann man mit unterschiedlichen Überlegungen anstellen. Mir kam der Dreisatz am einfachsten vor, aber natürlich kann man auch davon ausgehen, dass der Erwartungswert des Nettogewinns für einen der beiden Spieler (und damit automatisch auch für den anderen) Null sein soll:
E(Gewinn-Karl)=3*(1-P)-x*P=0
wobei

P

so wie vorhin die WKT ist, dass Karolin gewinnt.

Der Wert für

P

den du ursprünglich angegeben hattest

(0,63309)

ist übrigens ungenau. Den genauen Wert in Bruchform hab ich dir oben schon genannt, auf fünf Nachkommstellen gerundet wäre das

0,63310

(genau:

0,6331032576)

Fingolfin aktiv_icon

07:58 Uhr, 13.05.2019

Danke an Euch alle.
Ich war erst von der Antwort von Supporter verwirrt. Jetzt habe ich es verstanden.

supporter aktiv_icon

08:27 Uhr, 13.05.2019

Sorry, da ist mir offensichtlich ein Denkfehler unterlaufen. Danke für die Korrektur.

Fingolfin aktiv_icon

08:30 Uhr, 13.05.2019

Danke an Euch alle.
Ich war erst von der Antwort von Supporter verwirrt. Jetzt habe ich es verstanden.

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