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Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Einheitswurzel, faktorieller ring

 
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Anna-G

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19:50 Uhr, 18.05.2020

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Guten Abend,

ich habe eine kurze Frage zu an+bn=j=0n-1a+ζnjb. Diese leitet man ja aus Xn-1=j=0n-1X-ζnj durch Substitution her... Meine Frage ist: gilt das für jeden faktoriellen Ring?

Danke schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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ermanus

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20:24 Uhr, 18.05.2020

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Hallo,

das gilt für jeden Integritätsbereich, in dem die n-ten Einheitswurzeln
existieren.
Vermutlich reicht sogar ein kommutativer Ring aus, wenn er die n-ten
Einheitswurzeln enthält ...

Gruß ermanus
Anna-G

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20:50 Uhr, 18.05.2020

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Danke :-)

Müssen hierfür die n-ten Einheitswurzeln aus R selbst sein?, die dürften doch auch aus der ggf. echten Ringerweiterung R[ζn] stammen, oder? (grübel)
Antwort
ermanus

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21:04 Uhr, 18.05.2020

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Mir kommt deine Formel seltsam vor, so dass ich vermute, dass sie nicht stimmt.
Muss es nicht an-bn=j=0n-1(a-ζnjb) heißen?
Anna-G

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09:24 Uhr, 19.05.2020

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Doch, sorry... Ich lasse die Klammern gern weg, aber natürlich ist es besser mit...
Antwort
ermanus

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09:27 Uhr, 19.05.2020

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Mir war das "-" anstatt "+" wichtig.
Gruß ermanus
Anna-G

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20:45 Uhr, 19.05.2020

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Ah du hattest ja gleich geantwortet... danke dafür :-)

Wegen Plusminus: Wenn ich X=a-b setze, komme ich auf an+bn=j=0n-1(a+ζnjb), wenn ich mich nicht verrechnet habe. Kann aber auch sein, dass ich noch eine Fallunterscheidung machen muss, wenn n gerade/ungerade ist?

Ich glaube eine weitere Frage ist meine Hauptfrage: Kann ich bedenkenlos X=a-b setzen? Dazu muss ein Bruch definiert sein, oder? Wobei... wenn ich nicht im Integritätsbereich bleiben will, kann das Inverse b-1 ruhig außerhalb des Rings liegen, oder?

Fragen über Fragen :-D)
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ermanus

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21:12 Uhr, 19.05.2020

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Hallo,

wenn du in Xn-1 den Wert a-b einsetzt, bekommst du
(a-b)n-1 wenn du dies mit (-b)n multiplizierst,
erhältst du an-(-b)n. Du siehst daran, dass die ganze
Geschichte auch davon abhängt, ob n gerade oder ungerade ist.
Was stört dich denn an meiner korrekten Formel?

Gruß ermanus
Anna-G

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21:19 Uhr, 19.05.2020

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Stimmt, das hatte ich gerade auch mit gerade/ungerade.

Was mich stört? Ich weiß es ehrlich gesagt gar nicht so genau... In Algebra muss man immer so höllisch auf den jeweiligen Ring aufpassen. Deswegen auch meine Frage, ob ich den Bruch a/b einfach so als Bruch schreiben darf :-)
Antwort
ermanus

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21:23 Uhr, 19.05.2020

Antworten
Also sind wir uns einig, dass das Minuszeichen das korrekte ist?
Über die andere Frage bzgl. der Beliebigkeit des kommutativen Ringes
denke ich nochmal nach und melde mich ein bisschen später.
Anna-G

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21:32 Uhr, 19.05.2020

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Ja, sind wir, danke :-)

Und danke schonmal, deine Antwort wird mich interessieren :-)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:16 Uhr, 19.05.2020

Antworten
Also hier meine "allgemeinen Überlegungen" zu diesen Formeln.
Man kann folgende Ausgangssituation betrachten:
Sei R ein Ring, der enthält und ein Element ζ,
für das 1+ζ++ζn-1=0 gilt.
Seien nun X,Y zwei Unbestimmte und man betrachte den Ring R[X,Y].
Dann kann man darin das Produkt (X-Y)(X-ζY)(X-ζn-1Y) ausmultiplizieren.
Dabei entsteht ein Polynom in X,Y von der Form
Xn-σ1Xn-1Y+σ2Xn-2Y2-±σnYn.
Hierin sind die σi=σi(1,ζ,,ζn-1)die
i-ten elementarsymmetrischen Funktionen von 1,ζ,,ζn-1.
Aus rein algebraischen Gründen werden die σ1,,σn-1=0
werden und σn=1, so dass insgesamt Xn-Yn übrig bleibt.
Dies bleibt auch noch richtig, wenn man zu einem homomorphen Bild
von übergeht, da hierbei Polynome und deren Werte in
Polynome und deren Werte übergehen. Für mich ist damit klar, dass
die Formel in jedem kommutativen Ring gilt, in dem eine primitive n-te
Einheitswurzel ζ liegt, für die ζ-1 kein Nullteiler ist.
Nun kann man ohne weiteres in die Unbestimmten beliebige
Ringelemente einsetzen.

Gruß ermanus
Frage beantwortet
Anna-G

Anna-G aktiv_icon

20:43 Uhr, 20.05.2020

Antworten
Vielen lieben Dank ermanus für diese ausführliche Erläuterung! Sieht sehr plausibel aus!