|
Guten Abend,
ich habe eine kurze Frage zu . Diese leitet man ja aus durch Substitution her... Meine Frage ist: gilt das für jeden faktoriellen Ring?
Danke schonmal :-)
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
|
Hallo,
das gilt für jeden Integritätsbereich, in dem die -ten Einheitswurzeln existieren. Vermutlich reicht sogar ein kommutativer Ring aus, wenn er die -ten Einheitswurzeln enthält ...
Gruß ermanus
|
|
Danke :-)
Müssen hierfür die n-ten Einheitswurzeln aus selbst sein?, die dürften doch auch aus der ggf. echten Ringerweiterung stammen, oder? (grübel)
|
|
Mir kommt deine Formel seltsam vor, so dass ich vermute, dass sie nicht stimmt. Muss es nicht heißen?
|
|
Doch, sorry... Ich lasse die Klammern gern weg, aber natürlich ist es besser mit...
|
|
Mir war das "" anstatt "" wichtig. Gruß ermanus
|
|
Ah du hattest ja gleich geantwortet... danke dafür :-)
Wegen Plusminus: Wenn ich setze, komme ich auf , wenn ich mich nicht verrechnet habe. Kann aber auch sein, dass ich noch eine Fallunterscheidung machen muss, wenn n gerade/ungerade ist?
Ich glaube eine weitere Frage ist meine Hauptfrage: Kann ich bedenkenlos setzen? Dazu muss ein Bruch definiert sein, oder? Wobei... wenn ich nicht im Integritätsbereich bleiben will, kann das Inverse ruhig außerhalb des Rings liegen, oder?
Fragen über Fragen :-D)
|
|
Hallo,
wenn du in den Wert einsetzt, bekommst du wenn du dies mit multiplizierst, erhältst du . Du siehst daran, dass die ganze Geschichte auch davon abhängt, ob gerade oder ungerade ist. Was stört dich denn an meiner korrekten Formel?
Gruß ermanus
|
|
Stimmt, das hatte ich gerade auch mit gerade/ungerade.
Was mich stört? Ich weiß es ehrlich gesagt gar nicht so genau... In Algebra muss man immer so höllisch auf den jeweiligen Ring aufpassen. Deswegen auch meine Frage, ob ich den Bruch a/b einfach so als Bruch schreiben darf :-)
|
|
Also sind wir uns einig, dass das Minuszeichen das korrekte ist? Über die andere Frage bzgl. der Beliebigkeit des kommutativen Ringes denke ich nochmal nach und melde mich ein bisschen später.
|
|
Ja, sind wir, danke :-)
Und danke schonmal, deine Antwort wird mich interessieren :-)
|
|
Also hier meine "allgemeinen Überlegungen" zu diesen Formeln. Man kann folgende Ausgangssituation betrachten: Sei ein Ring, der enthält und ein Element , für das gilt. Seien nun zwei Unbestimmte und man betrachte den Ring . Dann kann man darin das Produkt ausmultiplizieren. Dabei entsteht ein Polynom in von der Form . Hierin sind die -ten elementarsymmetrischen Funktionen von . Aus rein algebraischen Gründen werden die werden und , so dass insgesamt übrig bleibt. Dies bleibt auch noch richtig, wenn man zu einem homomorphen Bild von übergeht, da hierbei Polynome und deren Werte in Polynome und deren Werte übergehen. Für mich ist damit klar, dass die Formel in jedem kommutativen Ring gilt, in dem eine primitive -te Einheitswurzel liegt, für die kein Nullteiler ist. Nun kann man ohne weiteres in die Unbestimmten beliebige Ringelemente einsetzen.
Gruß ermanus
|
|
Vielen lieben Dank ermanus für diese ausführliche Erläuterung! Sieht sehr plausibel aus!
|