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Faktorzerlegung Polynom

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Komplexe Analysis

Tags: Faktorzerlegung, Funktionalanalysis, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, polynom

Guesswho aktiv_icon

10:41 Uhr, 13.11.2010

Hallo,

ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Hab schon ordentlich Papier verbraucht und bin auch schon teilweise weitergekommen.

Meine Aufgabe lautet wie folgt:

1.Bestimmen Sie die komplexe Zerlegung in Linearfaktoren sowie die reelle Zerlegung
in lineare und quadratische Faktoren für das Polynom

p (x) := x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

und geben Sie eine geometrische Interpretation der komplexen Nullstellen von

p

.

Mein Ansatz ist der folgende: Nullstelle ist ja bei

- 1,

folglich Polynomdivision durch

x + 1

. Der Restterm lautet dann

x^{4} + x^{2} + 1

Das Polynom lautet dann in Faktoren zerlegt:

p (x) = (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)

Wie kann ich das weiter zerlegen in quadratische Faktoren? Ich erkenne keine binomische Formel oder etwas vergleichbares.

Ebenso möchte ich wissen, wie ich die Zerlegung in Komplexe Nullstellen anstellen muss und was deren Bedeutung sein sollen. Ich denke, dass ich mir dafür nur den Term

x^{4} + x^{2} + 1

anschauen muss. Aber mehr weiß ich auch nicht. Vielleicht würde es ja klarer sein, wenn ich die Zerlegung in reelle Faktoren hätte.

Vielen Dank für eure Hilfe,

Manuel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

BennyBoy aktiv_icon

11:51 Uhr, 13.11.2010

Hallo,

was ist denn mit dem Faktor

x^{3}

in dem Ergebnis deiner Polynomdivision...?

Habe es eben nur schnell überflogen, aber wenn ich

x^{4}

durch

x

teile, muss es doch einen

x^{3}

Term geben - oder bin ich gerade zu schnell und sollte das erstmal nachrechnen...?

Guesswho aktiv_icon

15:18 Uhr, 13.11.2010

Bei der Division fällt der

x^{4}

Term aus dem Ursprungspolynom raus. Dadurch brauche ich in meinem Ergebnis keinen Term mit

x^{3}

. Kurzum

(x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1) = x^{5} + x^{3} + x + x^{4} + x^{2} + 1 = P (x)

. Damit passt die bisherige Zerlegung des Polynoms. Nur die weitere bereitet mir Schwierigkeiten.

pleindespoir aktiv_icon

02:04 Uhr, 14.11.2010

x^{4} + x^{2} + 1

substituiere:

z = x^{2}

teppich aktiv_icon

02:39 Uhr, 14.11.2010

Für die komplexe Zerlegung wesentlich effizienter als eine mühsame Polynomdivision und Substitution erscheint mir, die ursprüngliche Gleichung etwas umzuformen, schließlich sieht es aus wie die geometrische Reihe und das muss doch zu etwas gut sein ;-)

Im Wissen, dass

x = 1

keine Lösung ist, können wir

x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0

mit

(x - 1)

multiplizieren und erhalten

x^{6} - 1 = 0

.

Hier können wir direkt die sogenannten Einheitswurzeln als Lösung angeben, wobei natürlich

x = 1

keine Lösung ist, da wir diese selbst produziert haben.

Nach Umrechnung in kartesiche Form können wir die komplexe Linearfaktorzerlegung direkt angeben. Bei genauem Hinsehen sieht man, dass sich von den vier "echt" komplexen Linearfaktoren jeweils zwei zu einem reellen quadratischen Faktor zusammenfassen lassen (über die dritte binomische Formel).

pleindespoir aktiv_icon

13:44 Uhr, 14.11.2010

"als eine mühsame Polynomdivision und Substitution "

...das ist nun mal der übliche Weg und auch nicht umständlich.

Vor allem fünktioniert dieser wesentlich häufiger, als Deine Version, die nur bei bestimmten Konstellationen zum Ziel führt.

Guesswho aktiv_icon

16:12 Uhr, 14.11.2010

Danke an euch alle, hab substituiert und dann wieder zurücksubstituiert. Meine endgültige Lösung lautet

P (x) = (x + 1) {(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} {(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2}

.
Das sollte genügen für die Lösung der Aufgabe. Wie man hier sieht, treten die komplexen Nullstellen paarweise konjugiert auf, wodurch die Imaginärteile beim Ausmultiplizieren wegfallen.

lg, Manuel

Matematikum

23:19 Uhr, 10.12.2013

Wie kommt man zu diesem Ergebnis? Könnte mir bitte jemand erklären, habe so ähnliche Aufgabe und weiß aber nicht, wie man das Ergebnis bekommt.
Danke im Voraus.

pleindespoir aktiv_icon

23:47 Uhr, 10.12.2013

Starte einen neuen Post mit Deiner "so ähnlichen" Aufgabe.

Matematikum

23:48 Uhr, 10.12.2013

p (x) = x^{4} - 160

pleindespoir aktiv_icon

23:59 Uhr, 10.12.2013

Das ist ja trivial!

bring die -160 rüber und entwurzel die Potenz

Matematikum

00:02 Uhr, 11.12.2013

ja sieht so einfach aus, aber was mache ich mit komplexen Zahlen? habe

X 1 = X 2 = 2, X 3 = x 4 = - 2,

wäre dann

Z 1,2 = 2 + i \cdot 0,

Z 3,4 = - 2 \cdot i \cdot 0

?
Viele Grüße

pleindespoir aktiv_icon

00:06 Uhr, 11.12.2013

ich gehe mal davon aus, dass du

p (x) = 0

für

p (x) = x^{4} - 160

suchst, oder ?

Dann schreib das mal hin und erkläre, wie man da auf komplexe Werte kommen kann.

Matematikum

00:08 Uhr, 11.12.2013

das weiß leider ich nicht, wie ich das machen soll...

pleindespoir aktiv_icon

00:10 Uhr, 11.12.2013

p (x) = x^{4} - 160

p (x) = 0

0 = x^{4} - 160

160 = x^{4}

Matematikum

00:11 Uhr, 11.12.2013

Ja, dann sind

2, - 2

die Lösungen, wäre dann

i \cdot 0

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00:14 Uhr, 11.12.2013

Nein, so nicht, sondern:

160 = x^{4} \sqrt{}

\pm \sqrt{160} = \sqrt{x^{4}}

mach mal die nächste Zeile dazu ...

Matematikum

00:20 Uhr, 11.12.2013

Sorry dass ich mit Formeleditor nicht umgehen kann, schreibe ich mal so:
plus minus Wurzel aus

160 = x^{2}

pleindespoir aktiv_icon

00:24 Uhr, 11.12.2013

Das ist schonmal gut - und was ist die Wurzelaushundertsechzig ?

und so gehts mit der Eingabe : www.onlinemathe.de/hilfe/formeln-mit-latex

Matematikum

00:30 Uhr, 11.12.2013

\pm 4 \sqrt{10}

pleindespoir aktiv_icon

00:43 Uhr, 11.12.2013

ja, perfekt !

und das muss nochmal gewurzelt werden, weil die Gleichung ja komplett so lautet:

\pm 4 \sqrt{1} 0 = x^{2}

Dazu unterscheiden wir zwei Fälle:

+ 4 \sqrt{1} 0 = x^{2}

und

- 4 \sqrt{1} 0 = x^{2}

Matematikum

00:52 Uhr, 11.12.2013

Ich verstehe nicht ganz, warum muss man mal Wurzel nehmen?
Also wenn man zweites Mal wurzelt, dann kommt es

x = \pm 2 \sqrt{10}

sollte aber heißen 4te Wurzel aus

10

Matematikum

00:56 Uhr, 11.12.2013

\pm 2 \sqrt{10}

und

\pm 2 i \sqrt{10}

die vierte Wurzel in beiden Fällen

pleindespoir aktiv_icon

01:06 Uhr, 11.12.2013

guckst Du Beitrag von 0h14

rechts und links Wurzel ziehen.

Dann bekommst du zwei Ergebnisse.

rechts steht dann aber immernoch ixkwadraht

also nochmal Wurzel ziehen !

Es gibt bereits zwei Teillösungen, also muss jede Teillösung für sich weiterentwurzelt werden.

Die Quadratwurzel von der Quadratwurzel ergibt übrigens die 4.Wurzel - siehe Potenzregeln und so ...

Du kannst auch gerne direkt die 4. Wurzel ziehen, aber das ist etwas "komplex" ...

pleindespoir aktiv_icon

01:10 Uhr, 11.12.2013

Achsoooo - Darstellungsproblem

\pm 2 \sqrt{\sqrt{10}}

oder auch

\pm 2 \cdot^{4} \sqrt{10}

wären lesbare Möglichkeiten

dann ist das andere Lösungspaar korrekterweise

\pm i 2 \cdot^{4} \sqrt{10}

Dann ist ja alles paletti!

Matematikum

01:19 Uhr, 11.12.2013

ja, so sieht schöner aus. Aber noch mal zum

00 : 14

die Schreibweise kann ich nicht nachvollziehen, wenn man einfach

x^{2} = \pm \sqrt{160}

dann

x^{2} = \pm 4 \sqrt{10}

x = \pm 2 \sqrt{10}

hier auch wieder 4te Wurzel, kriege das nicht hin

Atlantik aktiv_icon

02:36 Uhr, 11.12.2013

Entschuldigung pleindespoir, wenn ich dir reingrätsche!

Ich fasse mal zusammen mit dem Weg über die Substitution:

x^{4} = 160

Du substituierst

x^{2} = u \to

u^{2} = 160 | \sqrt{}

u_{1} = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10}

u_{2} = - \sqrt{160} = - 4 \sqrt{10}

Rücksubstitution:

1 .) x^{2} = 4 \sqrt{10} | \sqrt{}

x_{1} = \sqrt{4 \sqrt{10}} = 2 \sqrt{\sqrt{10}} = 2 \cdot \sqrt[4]{10}

x_{2} = - \sqrt{4 \sqrt{10}} = - 2 \cdot \sqrt[4]{10}

2 .) x^{2} = - 4 \sqrt{10} | \sqrt{}

x_{3} = \sqrt{- 4 \sqrt{10}} = 2 i \sqrt[4]{10}

x_{4} = - \sqrt{- 4 \sqrt{10}} = - 2 i \sqrt[4]{10}

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Atlantik

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