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Fallbeschleuniung

Schüler

Tags: erdumdrehung

stinlein aktiv_icon

11:53 Uhr, 20.01.2022

Hallo, liebe Mathefreunde. Bräuchte wieder einmal Hilfe von euch. Danke vielmals im Voraus für eure Mühe!
Aufgabe:
Da die Erde eine Umdrehung pro Tag um ihre eigene Achse macht, ist die tatsächliche Fallbeschleunigung am Äquator etwas geringer als sie in dem Fall wäre, wenn die Erde sich nicht drehen würde. Schätze den Betrag dieses Effekts ab. Welchen Bruchteil von

g

ist das?
Kapiere die Aufgabe nicht ganz. Danke für eure Hilfe!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

12:58 Uhr, 20.01.2022

Eigentlich hat es ja zwei Ursachen, warum die Waage am Äquator ein wenig weniger anzeigt als an den Polen.
Zum einen ist unsere Erde keine exakte Kugel und ist am Äquator etwas ausgebeult (sehr menschlich). Und da man daher am Äquator etwas weiter weg vom Gravizentrum ist, ist der Gravitationsanteil der Fallbeschleunigung dort auch geringer.

Die Aufgabe zielt aber auf eine zweite Komponente der Fallbeschleunigung ab, nämlich die Zentrifugalkomponente, die der Gravitationskomponente entgegenwirkt. Diese ist umso größer, je weiter weg man von der Rotationsachse ist und da hat man am Äquator eben den größten Abstand.
Es geht in der Aufgabe also um die Zerntrifugalbeschleunigung am Äquator.

stinlein aktiv_icon

13:04 Uhr, 20.01.2022

Danke vielmals für diese Erklärung. Noch eine Bitte um Klärung der Frage: Welchen Bruchteil von

g

ist das?
Muss man hier die Fallbeschleunigungen in ein Verhältnis setzen?
stinlein

N8eule

13:13 Uhr, 20.01.2022

Du fängst am besten mal an, diese Zentrifugalbeschleunigung zu ermitteln.
Dann fällt es dir sicher auch leicht, dieses
"Welchen Bruchteil von

g

ist das?"
zu beantworten.

stinlein aktiv_icon

13:15 Uhr, 20.01.2022

Danke vielmals für den Hinweis, mach ich.
stilein

stinlein aktiv_icon

13:25 Uhr, 20.01.2022

Die Zentrifugalbeschleunigung wirkt ja der Zentripedalbeschleunigung entgegen und ist gleich groß. Daher die Formel:
az

= (463,08 \frac{m}{s} / 6371000 m = 0,0336 \frac{m}{s^{2}}

Bin ich da richtig?
Danke für eine weitere Hilfe.
stinlein

Roman-22

13:28 Uhr, 20.01.2022

>

Die Zentrifugalbeschleunigung wirkt ja der Zentripedalbeschleunigung entgegen und ist gleich groß. Daher die Formel:

>

az =(40000000ms)26371000m=251137968,9ms

>

Bin ich da richtig?
keineswegs!
Das ist ja schon von den Einheiten her falsch und keine Beschleunigung! Aber das war vermutlich nur ein Schlamoigkeitsfehler so wie das falsch platzierte "m" in der Berechnungsformel.
Aber wie kommst du denn auf die irre Geschwindigkeit von

40000000 \frac{m}{s}

???
Die hattest du doch im anderen Thread schon richtig mit ca.

463 \frac{m}{s}

ermittelt.
Dort hast du allerdings, wie HAL9000 jetzt festgestellt hat, im Thread dort die Beschleunigung falsch berechnet.

EDIT: sehe du hast inzwischen editiert und richtig gestellt!
Der Wert passt jetzt.
Zu ermitteln, wie viel Prozent das von einem mittleren Wert für

g

ist, sollte ja nun nicht mehr so schwer sein.

Ein wenig unklar ist mir allerdings, wie du mit einem angenommenen Erdradius von

6371 k m

auf die Geschwindigkeit

463,08 \frac{m}{s}

kommst. Ich komme da auf

463,12 \frac{m}{s}

. Vermutlich hast du

π

grob mit

3,14

abgekürzt anstatt die TR-Taste für

π

zu verwenden.

stinlein aktiv_icon

13:54 Uhr, 20.01.2022

Ja - ich habe

3,14

genommen. Sollte nicht mehr passieren!
Danke vielmals, Roman-22! Es tut mir leid, dass ich jetzt momentan nicht weiß, wie es weitergeht.
Mit dem Satz "Zu ermitteln, wie viel Prozent das von einem mittleren Wert für

g

ist, sollte ja nun nicht mehr so schwer sein" komme ich nicht zurecht. Was heißt hier: mittlerer Wert für

g -

woher nehme ich diesen?
Danke dir ganz herzlich für deine Anwort schon im Voraus!
stinlein

Enano

14:27 Uhr, 20.01.2022

@Roman

Ein wenig unklar ist mir allerdings, wie du mit einem angenommenen Erdradius von 6371km auf die Geschwindigkeit von

463,12 \frac{m}{s}

kommst. Ich komme da auf

463,312 \frac{m}{s}

. Vermutlich hast du eine 3 geschlampt. ;-)

Und außerdem beträgt der Äquatorradius nicht 6371km sondern ca. 6378km, so dass sich eigentlich ca.

463,821 \frac{m}{s}

ergibt, bei angenommenen

86400 s

für eine Erdumdrehung, die aber eigentlich im Mittel nur

86164,1 s

dauert.

stinlein aktiv_icon

14:37 Uhr, 20.01.2022

Hallo, lieber Enano!

Auf dem Übungszettel sind leider keine Werte für den Äquatorradius udgl. mehr angegeben, daher habe ich aus dem Internet für den Radius

6371

km entnommen und versucht, damit zu rechnen.
DANKE!
stinlein

Enano

14:40 Uhr, 20.01.2022

Hallo stinlein,

da das Ergebnis ja nur eine Schätzung sein soll, ist das auch nicht weiter tragisch.

Roman-22

14:43 Uhr, 20.01.2022

@Enano

>

Vermutlich hast du eine 3 geschlampt. ;-)
Ja, genau so ist es. Ich hatte natürlich auch

463,312 \frac{k m}{h}

raus.

Auch deine sonstigen Einwände sind natürlich richtig, wobei noch der Hinweis auf die unterschiedliche Dichteverteilung fehlt, wodurch es auch wesentlich ist, wo genau am Äquator man sich befindet ;-)

@stinlein
Dass

g \approx 9,81 \frac{m}{s^{2}}

ist solltest du aber schon wissen.

Ich lese, dass nach Messungen sich an den Polen ein Wert von

9,832 \frac{m}{s^{2}}

ergab und am Äquator

9,787 \frac{m}{s^{2}}

.
Der genaue Wert scheint aber auch nicht so wesentlich zu sein, da die Aufgabe ja eigentlich nur von "schätzen" spricht.

stinlein aktiv_icon

15:09 Uhr, 20.01.2022

Herzlichen Dank für den Hinweis. Das mit dem

g

ist natürlich im Nachhinein klar. Ich habe da immer an Gramm gedacht ???? Tut mir leid - ein Kapitalfehler!!
Also muss ich so rechnen:
az

= \frac{v^{2}}{r}

r =

(v^2)/az)

r = \frac{{(463,312 \frac{m}{s})}^{2}}{6 \cdot 9,81 \frac{m}{s^{2}}} = 3646,9 m

Ob ich da die richtigen Benennungen habe?
Der Radius des Kreises beträgt also ung.

3,6

km. Das könnte sein. Ich bin gespannt auf deine Antwort! DANKE!
Liebe Grüße
stinlein

N8eule

15:25 Uhr, 20.01.2022

Da hilft nur noch Kaugummi vorkauen:

Die Erde hat einen Umfang von

U = 40000

km

Die Erde hat damit einen Radius von

r = \frac{U}{2 \cdot π} =

40000km/(2*pi)

= 6366

km

Die Erde dreht sich einmal pro Tag.
Ein Tag hat

t = 1 d = 60 \cdot 60 \cdot 24 s = 86400 s

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde beträgt:

ω = 2 \cdot π \cdot f = 2 \cdot π \cdot \frac{1}{T} = 2 \cdot \frac{π}{86400 s} = 7.272 e - 05 \frac{1}{s}

Die Zentrifugalbeschleunigung am Äquator beträgt:

a = r \cdot ω^{2} = 6366

\cdot {(7.272 e - 05 \frac{1}{s})}^{2} = 0.03367 \frac{m}{s^{2}}

stinlein aktiv_icon

15:35 Uhr, 20.01.2022

Vielen, vielen Dank für diese tolle Hilfe. Ich habe noch nie mit der Winkelgeschwindigkeit gerechnet. Aber die Aufgabe hat mich eben interessiert - daher nochmals danke. Ich werde mir das noch ganz genau ansehen. Diese Aufgabe hätte ich ohne deine Liebenswürdikeit zu helfen nie alleine lösen können. DANKE! DANKE!
Ich interessiere mich öfters für Matheaufgaben, die lebensnah sind - die aus dem praktischen Leben stammen, rechne an und für sich gerne. Manchmal brauche ich eben eine Tophilfe!
Ganz herzliche Grüße aus Tirol. Es schneit gerade - erfreulich für das Rennen in Kitzbühel!
stinlein

Edddi aktiv_icon

15:44 Uhr, 20.01.2022

Zentr.-beschl. am Äquator:

r_{E} =

Erdradius am Äquator

6,378137 \cdot 10^{6} m

U_{E} =

Erdumfang am Äquator

= 40,075016 \cdot 10^{6} m

d [s] =

Sternen-Tag in Sekunden (ca.

86.164)

g =

Erdbeschl.

9,81 \frac{m}{s^{2}}

a = \frac{v^{2}}{r_{E}}

wobei

v = \frac{U_{E}}{d [s]} = \frac{2 π r_{E}}{86.164}

dann ist:

a = \frac{4 π^{2} r_{E}}{7.424.234.896} = 0,03391

Dieser Wert weicht etwas von N8eule ab, was

z . B

. auch an der Verwendung des Erd-Tages mit

86.400 s

liegt. Damit hat sich die Erde aber etwas mehr alös einmal um sich gedreht um die Tageslänge bei der Umrundung der Sonne auszugleichen.

Damit ist die Abweichung von

g

bestimmbar durch:

(\frac{a}{g}) = \frac{0,03391}{9,81} = 0,003457 . .

\approx 0,35 %

;-)

Roman-22

16:51 Uhr, 20.01.2022

Irgendwie scheinst du deine verschiedenen Aufgaben ind den unterschiedlichen Threads durcheinander zu bringen.
Die Zentrifugalbeschleunigung hast du doch schon (nach einer Korrektur) in deiner Antwort von

13 : 25

Uhr,

20.01.2022

richtig gehabt. Was gefehlt hat war noch der Vergleich dieses Werts mit Bezug auf

g

.
Und dann fängst du plötzlich an, einen Radius ausrechnen zu wollen, so wie das bei der Aufgabe mit dem Jet-Piloten notwendig ist ;-)

stinlein aktiv_icon

20:59 Uhr, 20.01.2022

Ich bedanke mich ganz herzlich bei euch. Danke, danke, ich habe die beiden Aufgabe untereinnder gebracht - vermischt! Ja! Leider habe ich es zu spät bemerkt.
Sehr lieb von euch, dass ihr mich nicht im Stich gelassen habt. DANKE! DANKE!
stinlein

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