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Fallunterscheidung

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Tags: Fallunterscheidung

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21:09 Uhr, 18.01.2013

Hallo,
ich habe große Schwierigkeiten zu verstehen warum ich bei Ungleichungen mit Beträgen Fallunterscheidungen vornehmen muss und wie ich diese überhaupt ermitteln kann.
Kann mir das bitte bitte jemand genau erklären wann und wie ich Fallunterscheidungen machen kann? Ich habe auch eine Beispielaufgabe:

| X - 1 | + | X + 5 | \leq 4

Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:26 Uhr, 18.01.2013

Hi,

du musst eine Fallunterscheidung machen, um die Betragsstriche "auflösen" zu können, damit du die Ungleichung später nach

x

auflösen kannst.

Betrag ist ja so definiert:

| x | = x

für

x \geq 0

| x | = - x

für

x < 0

Mach dir mal Gedanken für welche Zahlen, du

1. bei beiden Beträgen die Betragsstriche einfach weglassen kannst
2. bei einem Betrag die Betragsstriche weglassen kannst und bei einem ein Minus davor muss
3. bei beiden ein Minus davor muss

anonymous

21:41 Uhr, 18.01.2013

Es gibt keine Lösungen !

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21:43 Uhr, 18.01.2013

Was ja nicht heißt, dass man es nicht beweisen muss.

anonymous

21:44 Uhr, 18.01.2013

Klar, aber ich wollte es ja nicht vorrechnen !

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21:56 Uhr, 18.01.2013

Danke schonmal für die schnelle Antwort :-) leider bin ich noch ziemlich unbeholfen und brauche noch mehr Hilfe um weiter zu kommen. also wie kann ich jetzt

z . B

. deine erste Frage angehen bzw. rechnen? ich kann es leider echt nicht alleine, ist schon zu lange her mit Mathe und ich muss es aber jetzt trotzdem lernen.

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21:58 Uhr, 18.01.2013

Kein Problem:

Für welche Menge von Zahlen ist

x - 1 \geq 0

x - 1 < 0

x + 5 \geq 0

x + 5 < 0

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22:05 Uhr, 18.01.2013

X \geq 1

X < 1

X \geq 5

X < 5

?? aber wie kommst du auf genau diese 4 Unterscheidungen und was ist

z . B

. mit

X - 1 \leq 0

? oder

X + 5 \leq 0

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22:06 Uhr, 18.01.2013

X \geq 1

X < 1

X \geq 5

X < 5

?? aber wie kommst du auf genau diese 4 Unterscheidungen und was ist

z . B

. mit

X - 1 \leq 0

? oder

X + 5 \leq 0

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22:13 Uhr, 18.01.2013

Die 4 Unterscheidungen folgen aus der Definition vom Betrag, die ich weiter oben schon mal gepostet habe.

Um im weiteren nicht durcheinander zu bringen substituieren ich mal kurz:

x - 1 = a

x + 5 = b

\Rightarrow | a | + | b | \leq 4

Du musst dir jetzt 3 Fall Unterscheidungen machen:

1.

a \geq 0

und

b \geq 0

a < 0

und

b \geq 0

a < 0

und

b < 0

Überleg dir für welche Zahlenmengen diese Fälle erfüllt sind.

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22:24 Uhr, 18.01.2013

Ich kann immernoch nicht nachvollziehen, wie ich auf 3 Fallunterscheidungen komme. Außerdem bin ich leider auch nicht mehr so ganz mit mathematischem Vokabular vertraut und insbesondere, wie ich das anschließend mit Zahlen notieren muss,

z . B

. für welche Zahlenmengen dies zutrifft. ich zitter schon, weil ich nicht weiß wie ich das niederschreiben muss, bzw. was von mir erwartet wird. :-) Tut mir leid

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22:35 Uhr, 18.01.2013

Kein Problem,

ich versuchs nochmal langsamer ;-)

Zuerst:

ich sehe grade du hast einen kleinen Fehler gemacht:

Es müsste bei beiden unteren jeweils

- 5

sein.

Danach hast du die 4 Bedingungen aufgestellt. Wenn du dir mal diese 4 Bereiche anguckst wirst du sehen, dass es 2 Randbereiche gibt. (Wenn du Schwierigkeiten hast dir das vorzustellen, mal dir einen Zahlenstrahl und markier dir die Bereiche)

x \geq 1

und

x < - 5

Nimm dir erstmal diese beiden Bereiche vor. Wenn du diese Zahlenmengen in deine Beträge einsetzt, was passiert mit den Argumenten in den Beträgen? Werden sie negativ oder positiv?

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22:48 Uhr, 18.01.2013

Wenn ich richtig verstanden habe, dass ich zunächst in jeden Betrag

- 5

und 1 für

X

einsetzten soll, dann werden sie mal positiv, mal negativ aber auch 0

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22:55 Uhr, 18.01.2013

Ich glaube du hast es richtig verstanden, aber falsch umgesetzt:

Setz mal irgendeine Zahl

\geq 1

| x - 1 |

und

| x + 5 |

ein. Stimmst du mir zu, dass jeweils die Werte innerhalb der Betragsstriche

\geq 0

sind?

Und wenn du jetzt mal irgendeine Zahl

< - 5

einsetzt:

Dann werden die Werte innerhalb der Betragsstriche auf jeden Fall

< 0

oder?

Das meinte ich auch mit "Randbereiche", eben die Bereiche, in denen beide Beträge

< 0

bzw.

\geq 0

sind.

Ist das bis hier hin verständlich oder muss ich noch weiter vorne anfangen? (Ist nicht schlimm muss es nur wissen!)

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23:00 Uhr, 18.01.2013

danke, das konnte ich gut nachvollziehen. Stimme ich zu.

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23:07 Uhr, 18.01.2013

Alles klar das ist schonmal gut.

Wir haben ja gesagt, es kann 3 Varianten geben, wie die Betragsstriche aufgelöst werden.

1. Die Werte innerhalb der Betragsstriche sind bei beiden Beträgen positiv.
2. Die Werte innerhalb der Betragsstriche sind bei einem Betrag positiv und bei einem Betrag negativ.
3. Die Werte innerhalb der Betragsstriche sind bei beiden Beträgen negativ.

Für Fall 1 und 3 haben wir die Zahlenbereiche ja bereits herausgefunden.

Für den 2. Fall müssen wir uns jetzt die Zahlen zwischen den beiden Randbereichen angucken, also:

Zahlen

< 1

und gleichzeitig

\geq - 5

Was passiert jetzt mit den Werten innerhalb der Betragsstriche?

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23:15 Uhr, 18.01.2013

Der 2.Fall tritt ein, also ein Betrag wird positiv und der andere negativ

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23:17 Uhr, 18.01.2013

ich meinte die 2.Variante

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23:19 Uhr, 18.01.2013

Auch korrekt :-)

Bis jetzt haben wir uns die ganze Zeit um die Bedingungen für die 3 Fallunterscheidungen gekümmert, aber das war Teil, in dem wir am meisten denken mussten.

Jetzt kannst du anfangen deine Ungleichung für jeden Fall einzeln zu lösen.
Hast du so etwas schonmal gemacht, oder soll ich dir einen Fall vorrechnen?

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23:23 Uhr, 18.01.2013

bitte einen Fall vorrechnen :-)

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23:31 Uhr, 18.01.2013

OK,

ich starte mal mit Fall 3

Bedingung

x < - 5

| x - 1 | + | x + 5 | \leq 4

\Leftrightarrow - (x - 1) - (x + 5) \leq 4

\Leftrightarrow - x + 1 - x - 5 \leq 4

\Leftrightarrow - 2 x - 4 \leq 4

\Leftrightarrow - 2 x \leq 8

|Vorsicht! Bei der Multiplikation bzw. Division einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen

\Leftrightarrow x \geq - 4

An der Stelle sind wir aber noch nicht fertig. Die Teil-Lösungsmenge für den 3. Fall besteht aus der Schnittmenge der Bedingung mit der Lösung. Also alle Zahlen die !gleichzeitig!

< - 5

sind und

\geq - 4

sind. Da diese Bedingungen für keine Zahlen erfüllbar sind, ist die Lösungsmenge für den 3. Fall die leere Menge.

Versuch du dich jetzt mal an Fall 1. Wenn du den hast, dann sind wir nicht mehr weit von der Lösung deiner Aufgabe entfernt.

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23:39 Uhr, 18.01.2013

ok. bevor ich loslegen kann habe ich noch eine zwischenfrage. waren das jetzt unsere Fälle?

X≥1

X < 1

X≥-5

X < - 5

es sind aber 4 und nicht 3 ? und sind Bedingugnen das gleiche wie ein Fall?

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23:44 Uhr, 18.01.2013

Nein, wir haben jetzt 3 Fälle:

1.

(x - 1) \geq 0

und

(x + 5) \geq 0

mit

x \geq 1

(x - 1) < 0

und

(x + 5) \geq 0

mit

- 5 \leq x < 1

(x - 1) < 0

und

(x + 5) < 0

mit

x < - 5

Die Bedingung ist immer das für welche Zahlenmenge dieser Fall gilt. Bei Fall

1 z . B

x \geq 1

Fall 1 und 3 waren die Randbereiche und Fall 2 die Zahlen dazwischen. Wenn du das verstanden hast dann leg los mit Fall 1.

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00:00 Uhr, 19.01.2013

Bedingung

X \geq 1^{}

| x - 1 | + | X + 5 | \geq 4

\Leftrightarrow (x - 1) + (x + 5) \leq 4

\Leftrightarrow x - 1 + x + 5 \leq 4

\Leftrightarrow 2 x + 4 \leq 4

\Leftrightarrow 2 x \leq 8

\Leftrightarrow x \leq 4

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00:03 Uhr, 19.01.2013

oh nein, ich muss nochmal meine vorzeichenfehler bearbeiten...

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00:04 Uhr, 19.01.2013

Gute Idee. Und wenn du das gemacht hast interpretier dein Ergebnis auch bitte.

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00:10 Uhr, 19.01.2013

Bedingung X≥1

|x−1|+|X+5|

\leq 4

⇔(x−1)+(x+5)≤4

⇔x−1+x+5≤4

⇔2x+4≤4

⇔2x≤8

⇔x≤4

hm, jetzt habe ich doch nur ein Vorzeichen bei der Ungleichung geändert. ist das so richtig gelöst die Aufgabe oder muss ich noch mehr korrigieren?

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00:12 Uhr, 19.01.2013

Ja musst du leider:

2 x + 4 \leq 4

\Leftrightarrow 2 x \leq 0

\Leftrightarrow x \leq 0

Jetzt kannst du aber das Ergebnis interpretieren.

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00:16 Uhr, 19.01.2013

Die Lösungsmenge liegt zwischen 0 und 1 ???

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00:19 Uhr, 19.01.2013

Nein,

die Teillösungsmenge für diesen Fall ist die Schnittmenge aus der Bedingung und der Lösung.
Du suchst also Zahlen, die diese beiden Kriterien erfüllen:

1.

x \geq 1

(Bedingung)
2.

x \leq 0

(Lösung)

Für welche Zahlenmenge bzw. welche Zahlen gilt das?

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00:25 Uhr, 19.01.2013

ich finde keine Zahl, die beide Kriterien erfüllen kann

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00:27 Uhr, 19.01.2013

Und das ist auch richtig ;-) Die Teillösungsmenge für diesen Fall ist ebenfalls die leere Menge, denn genau wie du schon gesagt hast, gibt es keine einzige Zahl die beide Kriterien erfüllen kann. Und jetzt auf zu Fall 2.

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00:36 Uhr, 19.01.2013

Bedingung

- 5 \geq X < 1

|x−1|+|X+5|<=4

⇔-(x−1)+(x+5)≤4

⇔-x+1+x+5≤4

⇔ 6≤4

mein

x

verschwindet. ich habe wohl etwas falsch gemacht?!

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00:41 Uhr, 19.01.2013

Nein du hast alles richtig gemacht. Du hast deine Ursprungssaussage zu einer unwahren Aussage gebracht.

6 \leq 4

ist das richtige Ergebnis, ist aber natürlich ein "falsche" bzw. unwahre, sodass wir auch hier im 2. Fall eine leere Menge als Teillösungsmenge haben.

Hast du bis hier hin alles was wir gemacht haben verstanden? Anschließend kommt jetzt nur noch eine kleine Interpretation und dann sind wir fertig ;-)

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00:44 Uhr, 19.01.2013

Für heute habe ich soweit gut verstanden. Morgen muss ich aber nochmal alles gut wiederholen und alles nochmal genau nachvollziehen ;-)

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00:49 Uhr, 19.01.2013

Gut.

Was jetzt noch gemacht werden muss:

Wir müssen noch die Vereinigungsmenge aus allen Teillösungsmengen bilden. Diese Gesamtlösungsmenge gibt uns dann alle Bereiche für

x

an, für die die Ungleichung erfüllt ist.

In unserem Beispiel ist das relativ simpel:

Wir haben in jeder Teillösungsmenge die leere Menge, sodass wir auch in der Gesamtlösungsmenge die leere Menge haben.

Was heißt das jetzt? Es gibt keinen Wert den du für

x

in deine Gleichung einsetzen kannst damit sie erfüllt ist.

3 Stunden und gefühlten

50

Posts später hoffe ich jetzt, dass ich dir zumindest ein bisschen vermitteln konnte, wofür man die Fallunterscheidungen bei Beträgen braucht.
Falls noch was ist meld dich Morgen einfach nochmal ;-)

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01:00 Uhr, 19.01.2013

Auf diese Interpretation kam ich auch gerade :-)

1000

Dank für deine Zeit und Geduld und unermesslichen Respekt vor deiner Leistung! ;-)

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