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Fallunterscheidung bei GLS mit Parameter

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Matheahoi

11:53 Uhr, 12.02.2014

hey!

ich habe eine Frage zu Gleichungssystemen. Also in meinem Fall gibt es ein Gleichungssystem mit den unbekannten

x, y, z

in Abhängigkeit des Parameters

t

.
habe das GLS gelöst und die letzte Zeile sieht folgendermaßen aus:

(1 - t) x = 7 (1 - t)

y = 1

(t) z = 2

Nun zu meiner Frage: Woher weiß ich nun, welche Fallunterscheidungen ich nach

t

machen muss?

Danke und lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

12:07 Uhr, 12.02.2014

Hallo,

"... habe das GLS gelöst und die letzte Zeile sieht folgendermaßen aus:

(1 - t) x = 7 (1 - t)

y = 1

(t)z=2"

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob da tatsächlich nur eine Zeile steht, für mich sieht das aus wie 3 Zeilen! Vielleicht könntest Du einfach das Ganze noch mal etwas verständlicher darstellen!

Matheahoi

12:15 Uhr, 12.02.2014

(\begin{matrix} 1 - t & 0 & 0 & | 7 (1 - t) \\ 0 & 1 & 0 & | 1 \\ 0 & 0 & t & | 2 \end{matrix})

so sieht die letzte Matrix aus.. mein Problem ist, dass ich nicht weiß, welche Fallunterscheidungen ich für

t

machen muss. In der Lösung steht einmal

t = 0

und einmal

t = 1

. aber woher weiß ich das bzw. wie finde ich das heraus?

Mathe45

12:33 Uhr, 12.02.2014

Es wäre natürlich hilfreich, auch die Originalaufgabe zu kennen.

Matheahoi

12:39 Uhr, 12.02.2014

(\begin{matrix} - (t - 1) & 2 & - 2 t & | 5 - 7 t \\ 2 (t - 1) & - 3 & 7 t & | - 3 + 14 t \\ 3 (t - 1) & 0 & 25 t & | 29 + 21 t \end{matrix})

Lösen sie folgendes lineares Gleichungssystem in den Unbekannten

x, y, z

über

R

in Abhängigkeit des Parameters

t

. Geben sie jeweils die Lösungsmenge an

Bummerang

12:46 Uhr, 12.02.2014

Hallo,

unabhängig von der Originalaufgabenstellung, wenn Deine Matrix richtig ist, so steht in der letzten Zeile, wenn man sie in eine Gleichung übersetzt):

t \cdot z = 2

Diese Gleichung ist wegen dem Satz vom Nullprodukt niemals erfüllt, wenn der Parameter

t = 0

ist. Damit gibt es für

t = 0

keine Lösungen!

Wenn man sich dann noch die erste Zeile in eine Gleichung übersetzt:

(1 - t) \cdot x = 7 \cdot (1 - t)

Da erkennt man sofort, dass diese Gleichung für

t = 1

auf beiden Seiten eine Null liefert,

d . h

. jedes

x

ist eine Lösung dieser Gleichung. Wennn aber

t \neq 1

ist, dann kann man beide Seiten durch

(1 - t)

teilen und schon steht da, dass dann

x = 7

sein muss.

Will man die Lösung für alle

t

angeben, würde man

z . B

. so schreiben:

Für

t = 0

hat das Gleichungssystem keine Lösung. Für

t = 1

ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar. Die Lösungsmenge ist

{(\begin{matrix} s \\ 1 \\ 2 \end{matrix})} = {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

. In den Fällen, in denen

t \notin {0; 1}

ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar und die Lösungen ist

(\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ \frac{2}{t} \end{matrix})

Matheahoi

12:54 Uhr, 12.02.2014

Ok vielen Dank. von diesem Nullprodukt habe ich auch noch nichts gehört :-/

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