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Fallunterscheidung bei einer Funktionsschar

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Fallunterscheidung, Funktionsschar

 
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oims98

oims98 aktiv_icon

14:02 Uhr, 09.01.2010

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Ich habe mal eine Frage zur Fallunterscheidung.
Meine Funktionsschar lautet:
fa(x)= 2x-2x2-a,a Element aus R

So jetzt habe ich schon folgende Fallunterscheidungen gemacht:
a<0
a=0


Aber wie muss ich bei a>0 vorgehen? Wer kann mir helfen? Was muss ich da anders machen, als bei a<0 ???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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hagman

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14:19 Uhr, 09.01.2010

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Die Frage ist, wozu du überhaupt Fallunterscheidung betreibst.
Man macht das deshalb, weil in den verschiedenen Fällen verschiedene "Verhaltensformen" vorliegen.
Die Unterschidung nach a<0,a=0,a>0 ist insofern tatsächlich sinnvoll, da man unterscheidet ob die Funktion fa auf ganz ℝ definiert ist oder eine oder zwei Definitionslücken hat.
Allerdings tritt innerhalb des Falles a>0 noch ein besonderer Spezialfall auf: a=1. Was passiert nämlich besonderes im Fall a=1? Vielleich solltest du daher insgesamt
a<0,a=0,0<a<1,a=1,1<a
unterscheiden (auch wenn die meisten Überlegungen immer für mehrere der Fälle gültig sind).
oims98

oims98 aktiv_icon

14:21 Uhr, 09.01.2010

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Und wie geht man bei der Falluntrscheidung a>0 vor?
Das war ja meine eigentliche Frage...
Antwort
hagman

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14:29 Uhr, 09.01.2010

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Was meinst du mit "wie geht man vor"?
Was willst du denn überhaupt machen? Was würdest du machen, wenn da einfach eine Funktion
f(x)=2x-2x2-42
stünde?
oims98

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14:31 Uhr, 09.01.2010

Antworten
Ich würde eine komplette Kurvendiskussion dirchführen.
Das will ich ja bei a>0 auch machen, aber a>0 irritiert mich...
oims98

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14:43 Uhr, 09.01.2010

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Bei den Polstellen kommt raus:
x2-a=0
x2=a
x1=a
x2=-a

Lücken gibt es keine!?

Nullstellen:
2x-2>0
2x>2
x>1 ????????????

Aber bei den Extremstellen, Asymptoten würde doch das gleiche raus kommen wie bei a<0 oder ???
Antwort
hagman

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14:57 Uhr, 09.01.2010

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Bei Nullstellen musst du natürlich mit =0 statt >0 anfangen (und findest dann x=1).
Deshalb musst du auch besonders im Fall a=1 aufpassen - ist a dann wirklich eine Polstalle?

Im Prinzip kommt natürlich in allen Fällen dasselbe heraus, bzw. soweit du bei der herleitung einer Extremstelle usw. nicht explizit von a<0 Gebrauch gemacht hast, gilt die dortige Herleitung natürlich auch für a>1.
oims98

oims98 aktiv_icon

15:02 Uhr, 09.01.2010

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Ok, dass sehe ich ein. Und wo ist dann der Unterschied zwischen a>0 und a<0? Unsere Lehrerin hat irgendwas von einem Spezialfall erzählt. Könntest du mir das bitte noch einmal (so einfach wie möglich) erklären?!
oims98

oims98 aktiv_icon

15:04 Uhr, 09.01.2010

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Und noch ein Nschtrag:
Ähm...die Polstellen sollten eigentlich für a>0 sein. Muss ich das = gegen > eintauschen? Oder ist es wieder wie wei a<0?
Antwort
hagman

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15:17 Uhr, 09.01.2010

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Naja, insgesamt sieht man, dass für a<0 keine Polstelle vorliegt, sondern fa auf ganz ℝ stetig ist; dass für a=0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x=0 vorliegt; dass für a>0 zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel vorliegen, nämlich bei x=+.a (Ausnahme: Im Spezialfall a=1 liegt bei x=1 keine Polstelle vor, sondern eine stetig hebbare Definitionslücke).
oims98

oims98 aktiv_icon

15:26 Uhr, 09.01.2010

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Ok, das habe ich verstanden. Muss man sonst noch igendwo was beachten?
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