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Faltung zweier stetiger 2 pi periodischer Fktn.

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Faltung, Fourierreihe, Funktionenreihen, Periodizität

muri10 aktiv_icon

10:32 Uhr, 24.01.2021

Hallo zusammen,

ich habe die Definition

(f ⋆ g) (x) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x - y) g (y) d y

gegeben und soll (Teilaufgabe

(a))

zeigen, dass wenn

f

und

g

stetige

2 π

periodische Funktionen sind,

f ⋆ g

ebenfalls

2 π

periodisch ist.

Bei

(b)

sei

f = D_{N}

der Dirchilet-Kern. Wie sieht die Fourierreihe von

D_{N} ⋆ g

aus?

(c)

Es seien

f_{k}

und

g_{k}

die Fourierkoeffizienten von

f

und

g

. Hier soll man zeigen, dass die Fourierreihe der Faltung

f ⋆ g

gegeben ist durch

\sum_{k = - \infty}^{\infty} f_{k} g_{k} e^{i k x}

(a)

Ich finde überall den Satz "Die Faltung zweier stetiger

2 π

periodischer Funktionen ist auch

2 π

periodisch", aber keinen Beweis.

(b)

und

(c)

verstehe ich leider garnicht. Der Dirchilet-Kern wurde bei uns sehr oberflächlich und abstrakt kurz angeschnitten, habe ich aber nicht verstanden.

Vielen Dank schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

10:37 Uhr, 24.01.2021

Wenn du im Netz suchst, suche immer auf Englisch. Die W-keit etwas zu finden ist 20 mal höher mindestens. Der deutsche Sprachraum ist leider sehr klein.

Zu a)
math.stackexchange.com/questions/1962677/proof-of-period-of-convolution

DrBoogie aktiv_icon

10:41 Uhr, 24.01.2021

b)
zolotarev.fd.cvut.cz/static/mni/lectures/lecture_05_2019.pdf
Seite 12

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10:42 Uhr, 24.01.2021

c) math.stackexchange.com/questions/1636856/fourier-series-and-convolution

muri10 aktiv_icon

10:51 Uhr, 24.01.2021

Okay, werde ich machen.

Zu

(a)

direkt eine Frage:

Im Beispiel sind die Grenzen

- \infty

und

\infty,

bei mir 0 und

2 π

Müssen die dann beim Schritt

(f ⋆ g) (x + T)

angepasst werden wie:

(f ⋆ g) (x) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x - y) g (y) d y

(f ⋆ g) (x + T) = \frac{1}{2 π} \int_{2 π}^{4 π} f (x + T - y) g (y) d y

= \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x - y) g (y) d y = (f ⋆ g) (x)

DrBoogie aktiv_icon

10:56 Uhr, 24.01.2021

Ja, es muss angepasst werden.

T

ist bei dir

2 π

.
Und das Integral kannst du immer zwischen

0

udn

2 π

lassen, denn die Funktionen sind periodisch, daher

\int_{a}^{a + 2 π} . . .

hängt nicht von

a

ab.

muri10 aktiv_icon

11:03 Uhr, 24.01.2021

Okay, reicht also, was ich oben geschrieben habe mit den unveränderten Integrationsgrenzen als Beweis, oder muss noch die zweite Antwort des Threads miteinfließen?

DrBoogie aktiv_icon

11:06 Uhr, 24.01.2021

Die 2. Antwort brauchst du nicht, dort beweisen sie eine allgemeinere Aussagen, denn sie haben nur eine periodische Funktion. Bei dir ist alles einfacher.

muri10 aktiv_icon

11:27 Uhr, 24.01.2021

Okay.

Bei

(b)

habe ich jetzt

D_{N} ⋆ g = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} D_{N} (x - y) g (y) d y = \sum_{k = - N}^{N} c_{k} e^{i k ω_{0} x}

mit

c_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i k ω_{0} x}

Stimmt das so und ist vollständig? Vorallem die Variablen und Integrationsgrenzen.

DrBoogie aktiv_icon

11:43 Uhr, 24.01.2021

Ich denke, hier kann man nicht viel falsch machen. :-)
Ja, es stimmt.

muri10 aktiv_icon

11:57 Uhr, 24.01.2021

Super, danke.

Bei der

(c)

musste ich etwas ändern, da die gegebenen Definitionen der Faltung sich unterschieden haben, bin mir deshalb wieder nicht ganz sicher:

f (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f_{k} e^{i k x}

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} g_{k} e^{i k x}

f_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{o}^{2 π} f (x) e^{- i k x} d x

g_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{o}^{2 π} g (x) e^{- i k x} d x

(f ⋆ g) (x) = \frac{1}{2 π} \int_{o}^{2 π} f (x - y) g (y) d y

= \frac{1}{2 π} \int_{o}^{2 π} (\sum_{k = - \infty}^{\infty} f_{k} e^{i k (x - y)}) g (y) d y

\sum_{k = - \infty}^{\infty} f_{k} e^{i k x} \cdot (\frac{1}{2 π} \int_{o}^{2 π} g (y) e^{- i k y} d y)

= \sum_{k = - \infty}^{\infty} f_{k} g_{k} e^{i k x}

Die letzten beiden Schritte verstehe ich nicht ganz. Wieso kann

e^{- i k y}

aus der Summe und die restliche Summe aus dem Integral gezogen werden? Wieso ist nach Integration der

e

Term weg bzw. wo bleibt das

e^{i k x}

von

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} g_{k} e^{i k x}

DrBoogie aktiv_icon

12:08 Uhr, 24.01.2021

"Wieso kann e−iky aus der Summe und die restliche Summe aus dem Integral gezogen werden?"

Das wird so nicht gemacht.

"Wieso ist nach Integration der e Term weg bzw. wo bleibt das eikx von g(x)=∑k=−∞∞gkeikx?"

Diese Formel brauchen wir gar nicht.

Eigentlich ist es sehr einfach.
Ich vergesse man den Vorfaktor, dann bleibt

\int_{0}^{2 π} (\sum_{k} f_{k} e^{i k (x - y)}) g (y) d y

. Das ist natürlich dasselbe wie

\int_{0}^{2 π} (\sum_{k} f_{k} e^{i k (x - y)} g (y)) d y

.
Hier vertauscht man zunächst die Integration mit der Summation (warum man das machen darf, weiß ich auf Anhieb nicht, aber das darf man sicherlich):

\sum_{k} \int_{0}^{2 π} f_{k} e^{i k (x - y)} g (y) d y

.
Weiter nutzt man

e^{i k (x - y)} = e^{i k x} e^{- i k y}

.
Also haben

\sum_{k} \int_{0}^{2 π} f_{k} e^{i k x} e^{- i k y} g (y) d y

.
Da wir bzgl.

y

integrieren, ist

e^{i k x}

aus Sicht der Integration nur ein konstanter Faktor, den dürfen wir nach vorne ziehen. Und ebenfalls

f_{k}

natürlich. Also haben

\sum_{k} f_{k} e^{i k x} \int_{0}^{2 π} e^{- i k y} g (y) d y

.
Und wir wissen, dass

\int_{0}^{2 π} e^{- i k y} g (y) d y

per Definition

g_{k}

ist. Also haben

\sum_{k} f_{k} e^{i k x} g_{k}

muri10 aktiv_icon

12:44 Uhr, 24.01.2021

Sehr verständlich erklärt, danke.

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