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Faltung zweier tri(t)-Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Faltung, Faltungsintegral

Nekks aktiv_icon

16:03 Uhr, 30.05.2016

Hallo

seit nun zwei Tagen beschäftige ich mit der Transformation von Eingangssignalen, wenn diese ein LTI-System passieren. Dabei bin ich auf den Begriff der (mathematischen) Faltung und des Faltungsintegrals gestoßen. Um nun das Verfahren zu verstehen, kam ich auf die Idee, einige Aufgaben zu erstellen.
Eine dieser Aufgaben ist die Faltung zweier (elementarer) Dreiecksignale. Aus dem Wissen heraus, dass die Faltung zweier rect(t)-Signale (Rechteckfunktionen) eine Dreiecksfunktion zur Folge hat, versuchte ich folgenden Ansatz:

$s_{0} (t) = s_{1} (t) =$ tri(t) = rect(t) $⋆$ rect(t) $= \int_{- \infty}^{\infty}$ rect( $τ$ )*rect(t $- τ) d τ$

$g (t) = s_{0} (t) ⋆ s_{1} (t) =$ (rect(t) $⋆$ rect(t)) $⋆$ (rect(t) $⋆$ rect(t)) (Assoziativgesetz)

Es gilt: $s_{0} (t) = s_{1} (t) = {1 - | t |$ für $| t | \leq 1; 0$ für $| t | > 1)$

$\Rightarrow - 1 \leq t \leq 1$ und $- 1 \leq t - τ \leq - 1 \Leftrightarrow - 1 + t \leq τ \leq 1 + t$

Es gilt: rect(t) $= {1$ für $| t | \leq \frac{1}{2}; 0$ für $| t | > \frac{1}{2}$

$\Rightarrow - \frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$ und $- \frac{1}{2} + t \leq τ \leq \frac{1}{2} + t$

$\Rightarrow - \frac{1}{2} \leq t - 2 \cdot τ \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 1 + \frac{t}{2} \leq τ \leq 1 + \frac{t}{2}$
Da $\int_{- \infty}^{\infty} s (τ) \cdot h (t - τ) d τ$ (allgemeine Form) müsste man somit in den 2. Integranden innerhalb der Klammer jeweils noch einmal $- τ$ rechnen, damit ergäbe sich folgender Ausdruck:
$[[...] \int_{- \infty}^{\infty}$ rect( $τ - τ$ )*rect(t $- τ - τ) d τ] d τ = [[...] \int_{- \infty}^{\infty}$ rect(0)*rect(t $- 2 τ) d τ] d τ = \cdot$
rect(0) liefert stets $1,$ entfällt somit und folglich:
$\cdot [[...] \int_{- \infty}^{\infty}$ rect(t $- 2 τ) d τ] d τ$
Nun muss gelten, dass rect(t $- 2 τ) \neq 0$ ist, daher obige Umformung

Demzufolge (aufgrund des Assoziativgesetzes):
$\int_{- 1 + t}^{1 + t} [\int_{- \frac{1}{2} + t}^{\frac{1}{2} + t}$ rect( $τ) \cdot$ recht(t $- τ) d τ \cdot \int_{- 1 + \frac{t}{2}}^{1 + \frac{t}{2}}$ rect(t $- 2 τ) d τ] d τ$

Mit Sicherheit ist es einfacher lösbar, wenn man bedenkt, dass sich ein Dreieckssignal aus einer steigenden, sowie einer fallenden, linearen Funktion darstellen lässt. Würde aber sehr gerne wissen, ob eine Lösung durch voriges Integrieren zweier Rechtecksignale und am Ende nochmals die Integration zweier (aus der erstmaligen Integration resultierenden) Dreieckssignale auch zum Ergebnis führt.

liebe Grüße und vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:56 Uhr, 31.05.2016

Hallo,

ich kann Deinen Ausführungen nicht ganz folgen. Eventuell hast eine Variable mehrfach verwendet. Ich schreibs mal so auf:

Ich gehe davon aus, dass tri=rect $⋆$ rect ist. Dann ist

(tri $⋆$ tri)(t) $\int$ ds tri(t-s) $\cdot$ tri(s) $= \int$ ds $(\int$ du rect(t-s-u) $\cdot$ rect(u) $) \cdot (\int$ dv rect(s-v) $\cdot$ rect(v) )

Gruß pwm

Nekks aktiv_icon

21:47 Uhr, 31.05.2016

Danke Dir

lg

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