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Faltungsformel

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

gigatonicxs aktiv_icon

12:01 Uhr, 28.09.2023

Ich will 2 zufallsvariablen mit dichte Exp(1) falten , aber

Z = X - Y,

wie finde ich die dichte von

Z

heraus ?

X

und

Y

sind iid.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

18:29 Uhr, 28.09.2023

Die Faltungsformel für die Summe kennst du doch, wende die doch auf

Z = X + (- Y)

an:

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) \cdot f_{- Y} (z - x) d x \overset{!}{=} \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) \cdot f_{Y} (x - z) d x

.

Die Dichteumwandlung kann man mit dem Transformationssatz begründen - oder auch elementar so: Für stetige Zufallsgrößen

Y

gilt

F_{- Y} (y) = P (- Y \leq y) = P (Y \geq - y) = 1 - P (Y < - y) \overset{s}{=} 1 - P (Y \leq - y) = 1 - F_{Y} (- y)

,

die Stetigkeit geht hier nur an Stelle

\overset{s}{=}

ein. Nun das ganze nach

y

ableiten liefert gemäß Kettenregel

f_{- Y} (y) = - f_{Y} (- y) \cdot (- 1) = f_{Y} (- y)

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