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Faltungsprodukt Kurzeitintegrator und Cosinus

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Tags: Faltungsprodukt, Funktion, Integration

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23:16 Uhr, 25.06.2019

Hallo zusammen,
gegeben ist ein Kurzzeitintegrator mit der Impulsantwort

h (t) = rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

. Berechnen Sie die Reaktion

y (t)

des Systems auf die Erregung

x (t) = A \cdot cos (ω_{0} t) \cdot s (t)

. Angegebene Lösung:

\frac{A}{ω_{0}} sin (ω_{0} t) \cdot rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

.
Mein Lösungsweg:

A \int_{0}^{\infty} cos (ω_{0} τ) \cdot rect (\frac{t - τ - \frac{T}{2}}{T}) d τ

Mit der Substitution:

u = \frac{t - τ - \frac{T}{2}}{T} \to - T \cdot d u = d τ, u (τ = 0) = \frac{t - \frac{T}{2}}{T}, u (τ = \infty) = - \infty, τ = t - T (u + \frac{1}{2})

folgt:

- T \cdot A \int_{\frac{t - \frac{T}{2}}{T}}^{- \infty} cos (ω_{0} \cdot (t - T (u + \frac{1}{2}))) \cdot rect (u) d u =

T \cdot A \int_{0}^{\frac{t - \frac{T}{2}}{T}} cos (ω_{0} \cdot (t - T (u + \frac{1}{2}))) d u

mit

ω_{0} = \frac{2 π}{T}

ergibt sich nach Vereinfachung:

T \cdot A \int_{0}^{\frac{t - \frac{T}{2}}{T}} cos (\frac{2 π}{T} \cdot (t - T u - \frac{T}{2}))) d u =

\frac{T A}{2 π} [- sin \frac{2 π \cdot (t - T u - \frac{T}{2})}{T}]_{0}^{\frac{t - \frac{T}{2}}{T}} =

\frac{T A}{2 π} (- sin (\frac{2 π t}{T} - 2 π (\frac{t - \frac{T}{2}}{T}) - π) - (- sin (\frac{2 π t}{T} - π))) =

\frac{T A}{2 π} \cdot sin (\frac{2 π t}{T} - π) =

\frac{T A}{2 π} \cdot (- sin (ω_{0} t)) =

- \frac{A}{ω_{0}} \cdot sin (ω_{0} t)

Wer findet den (sorry) !verdammten! Vorzeichenfehler?
Besten Dank im Voraus!
VG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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06:29 Uhr, 28.06.2019

Keiner? :(

pwmeyer aktiv_icon

18:13 Uhr, 30.06.2019

Hallo,

ist nicht ganz leicht zu verfolgen, aber:

- Sollte die untere Grenze des Integrals nicht

- 0.5

statt 0 sein, wegen der rect-Funktion?
- Hast Du als Stammfunktion für

cos

die Funktion

- sin

verwendet, es wäre sin.

Gruß pwm

Connemara aktiv_icon

18:28 Uhr, 30.06.2019

Hallo pwm,

oh Gott, Du hast Recht! Ich bin ein Amateur ;-)
Besten Dank.

Der Rechenfehler hat mich mehrere Stunden meines Lebens gekostet.

VG

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