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Faltungsprodukt zweier Rechteckfunktionen

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Integration

Tags: Faltung, Funktion, Integration, Rechteckfunktion

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19:55 Uhr, 23.06.2019

Hallo zusammen,

folgende Fragestellung: Berechnen Sie das Faltungsprodukt von

A \cdot rect (t) * B \cdot rect (\frac{t}{T})

mit

T < 1

.
Mein Rechenweg:

A \cdot rect (t) * B \cdot rect (\frac{t}{T}) = A \cdot B \int_{- 0, 5}^{0, 5} rect (\frac{t - τ}{T}) d τ

Substitution

u = \frac{t - τ}{T}

ergibt:

A \cdot B \cdot T \int_{\frac{t - 0, 5}{T}}^{\frac{t + 0, 5}{T}} rect (u) d u

Fallunterscheidung (1), untere Grenze

\frac{t - 0, 5}{T} < - 0, 5

bzw.

t < \frac{1 - T}{2}

und obere Grenze

\frac{t + 0, 5}{T} < 0, 5

bzw.

t < - \frac{1 - T}{2}

A \cdot B \cdot T \int_{- 0, 5}^{\frac{t + 0, 5}{T}} 1 d u = A \cdot B (t + \frac{1 + T}{2})

Fallunterscheidung (2), untere Grenze

\frac{t - 0, 5}{T} > - 0, 5

bzw.

t > \frac{1 - T}{2}

und obere Grenze

\frac{t + 0, 5}{T} > 0, 5

bzw.

t > - \frac{1 - T}{2}

A \cdot B \cdot T \int_{\frac{t - 0, 5}{T}}^{0, 5} 1 d u = A \cdot B (- t + \frac{1 + T}{2})

Fallunterscheidung (3), untere Grenze

\frac{t - 0, 5}{T} > - 0, 5

bzw.

t > \frac{1 - T}{2}

und obere Grenze

\frac{t + 0, 5}{T} < 0, 5

bzw.

t < - \frac{1 - T}{2}

A \cdot B \cdot T \int_{\frac{t - 0, 5}{T}}^{\frac{t + 0, 5}{T}} 1 d u = A \cdot B

0

sonst.
Der Musterlösung entspricht das leider nicht:

A \cdot B (t + \frac{1 + T}{2})

für

- \frac{1 + T}{2} < t \leq - \frac{1 - T}{2}

A \cdot B \cdot T

für

- \frac{1 - T}{2} < t \leq \frac{1 - T}{2}

A \cdot B (- t + \frac{1 + T}{2})

für

\frac{1 - T}{2} < t \leq \frac{1 + T}{2}

0

sonst.
Wo stecken meine Fehler in der Rechnung?
Besten Dank im Voraus für Eure Unterstützung.
VG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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21:15 Uhr, 24.06.2019

Keiner? :(

pwmeyer aktiv_icon

10:51 Uhr, 25.06.2019

Hallo,

das Faltungsintegral nach Deiner Umformung geht über das Intervall

[\frac{t - 0.5}{T}, \frac{t + 0.5}{T}]

Das ist ein Intervall der Länge

\frac{1}{T} > 1 (!)

. Der Integrand - rect(u) - ist aber 1 auf dem Intervall

[- 0 . 5,0 . 5],

sonst 0. Also ist der Wert des Integrals gleich der Länge des Intervalls

[\frac{t - 0.5}{T}, \frac{t + 0.5}{T}] \cap [- 0 . 5,0 . 5]

Wenn man jetzt die Fälle diskutiert, also

t : - \infty \to \infty,

dann erhält man 0 solange

\frac{t + 0.5}{T} \leq - 0.5

Der nächste Fall ist

\frac{t + 0.5}{T} \in [- 0 . 5,0 . 5],

dann ist der linke Punkt

\frac{t - 0.5}{T}

außerhalb von

[- 0 . 5,0 . 5]

. Ergebnis:

A \cdot B \cdot T \cdot [\frac{t + 0.5}{T} - 0.5]

Der nächste Fall ist

\frac{t - 0.5}{T} \leq - 0.5

und

\frac{t + 0.5}{T} \geq 0.5

. Dann wird genau über das Intervall

[- 0 . 5,0 . 5]

integriert, Integral=1

. .

.

Gruß pwm

Connemara aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.06.2019

Hallo pwmeyer,

riesigen Dank für deine Hilfe. Das habe ich uneingeschränkt verstanden!
Freue mich mega!

VG

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