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Fast sichere Konvergenz nachweisen

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Erwartungswert

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Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Sonstig, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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16:56 Uhr, 20.12.2020

Hallo,

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht wie ich die fast sichere Konvergenz zeigen soll. Kann mir jemand helfen?

Sei

(B_{t})_{t \geq 0}

eine Standard-Brownsche Bewegung und

(τ_{n})_{n \in ℕ}

eine Folge von Stoppzeiten die folgende Eigenschaften für alle

n

und

k

erfüllt
(i)

τ_{n} = \frac{k}{2^{n}}

(ii)

{τ_{n} > \frac{k}{2^{n}}} \in σ (B_{\frac{1}{2^{n}}}, B_{\frac{2}{2^{n}}}, . . ., B_{\frac{k}{2^{n}}})

mit

τ_{n} \to τ

fast sicher. Zeige, dass mit

b > 0

und

u \in ℝ

für

Y_{n} (w) = \frac{u + B_{τ_{n}} (w)}{b + τ_{n} (w)}

und

Y (w) = \frac{u + B_{τ} (w)}{b + τ (w)}

Y_{n} \to Y

fast sicher gilt.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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