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Feder Masse System

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

ooTheDomeoo aktiv_icon

11:50 Uhr, 19.04.2010

Hallo,

ich sitze gerade an einer Hausaufgabe für die FH.

Es handet sich um ein Feder / Masse / System, dass zusätzlich von einem Motor mit Pleulstange angetrieben wird.

Ich kann brechnen, zu welchem Zeitpunkt sich die Pleulstange nach oben oder unten bewegt ( also die Position) Diese beschleunigt ja die Feder mit dem Gewicht. Wie beschreibe ich die aktuelle Ausdehnung der Feder?

Federdaten:

d ~

0Ns/m

. .

0.05

NS/m

m = 75 g

c = 2,5 \frac{N}{M}

f ~ 1

Hz

Der Antrieb geschieht über eine Pleulstange, die

l 1 = 12

mm und

l 2 =

77mm (siehe Bild) Der Motor wird mit

3000

Upm angetrieben.

Gesucht ist die Position des Gewichtes zum Zeitpunkt

t

.

Ich habe bisher gar keine Ansätze, wie ich dies berechnen kann

: - (

anonymous

12:40 Uhr, 19.04.2010

Hallo
Deine Skizze ist nicht vollständig. Wo ist die Feder, wo die Masse? Ich vermute mal, die Feder sitzt zwischen dem Kolben auf deiner Skizze auf der einen Seite und der Masse auf der anderen Seite.

Dann zu deinen "Federdaten":
Was ist d?
Den Einheiten zufolge könnte es sich um den Kennwert eines Dämpers handeln. Also ist es ein Feder-Dämpfer-Masse-System?
Dann zu c? In meinem Browser erscheint da

c = 2,5

NM, vermutlich ist die Federsteifigkeit

c = 2.5 N / m

gemeint.
Und was ist das für eine Frequenz? f~1Hz
Ich vermute mal, das ist die Eigenfrequenz des Feder-Dämpfer-Masse-Systems. Das lässt sich aus den vorliegenden Daten nachrechnen, wenn man will. Ich hab's bisher nicht kontrolliert.
Die Frequenz der Kolben-Bewegung

x_{1}

jedenfalls ist: Drehzahl=

3000 U / min = 50

Hz

Dann zum Ansatz:
Du sagst schon, du kannst die Position des Kolbens in deiner Skizze bestimmen. Nennen wir die:

x_{1}

Ich nehme an, wir dürfen die Drehzahl des Motors als konstant ansetzen, also der Winkel

Φ

ist proportional zur Zeit. Dann ist es typisch für solche Pleuel-Getriebesysteme, dass die Kolbenbewegung eine etwas verfälschte Sinus-Funktion ist.
Aber ich entnehme deinen Worten, das kriegst du hin...

[x_{1} = f (t)]

Dann ist es hilfreich, der Position der Masse einen anderen Namen zu geben, ich nenne sie mal:

x_{2}

Zwischen Kolben und Masse sitzen wie gesagt Feder und Dämpfer.
Für die Feder-Kräfte gilt bekanntlich:

F_{c} = c \cdot (x_{1} - x_{2})

Für die Dämpfer-Kräfte bestimmen wir uns erst mal die (Dämpfer-Bewegungs-) Geschwindigkeit:

v = d (x_{2} - x_{1}) / d t

Und die Dämpfer-Kräfte sind dann:

F_{d} = - d \cdot v

Und jetzt einfach Ansatz nach d'Alambert:
Summe der Kräfte = Beschleunigungskräfte der Masse

ooTheDomeoo aktiv_icon

13:08 Uhr, 19.04.2010

Ersteinmal vielen Dank für die Antwort.

Ich wollte noch zwei andere Bilder hinzufügen, aber Ihrgendwie hatte das nicht geklappt. Die Feder hängt unten am Pleul. Ich habe mal aus der Aufgabenstellung das Zahnrad eingescannt.

Die Feder hängt unten am Pleul und soll das ganze beschleunigen.

Fragen sind:
- Was passiert bei ganz wenigen Umdrehungen Pro Min

- Was bei ganz vielen?

- Wie kann man dies mit einer Differenzialgleichung bzw. Rekursionsformel beschreiben?

Kannst du mir dabei Helfen? Ich stehe total auf dem Schlauch.

Nach Rückfrage dürfen wir die Drehzahl ans Konstant ansehen.

ooTheDomeoo aktiv_icon

16:53 Uhr, 19.04.2010

@Cube ich werd aus deinen Angaben leider nicht schlau,. Könntest du dies an dem Beispiel konkretisieren?

Der Vollständigkeits halber mein Ansatz für die Position des Bleuls zur Zeit t
$α = 2 * π * \frac{1}{T} * t$

T = Umdrehungen pro Minute

t = Zeit in Minuten

$f (t) = l_{1} * \cos (α) + \sqrt{{l_{1}^{2} - (l_{2}^{2} * \sin (α))}^{2}}$

Das Ergebnis von F(t) ist x1. Nur wie komme ich jetzt auf x2, die Position des Gewichtes, das an der Feder hängt.

Wie bringe ich es in Zusammenhang mit der Position des Pleuls. Je nach Position beschleunigt das Pleul ja die Feder bzw das Gewicht, dass an der Feder hängt.

Könnte man das mit dieser Funktion beschreiben:

$C (x 2 - y 1) + D ({x 2}^{|} - {x 1}^{|}) + m * {x 2}^{| |}$

Leider weis ich aber auch da nicht weiter :-( Man muss doch ihrgendwie die Bewegungsänderung des Gewichtes mit Hilfe der Rekursionsformel berechnen können.

:-(

Rabanus aktiv_icon

17:36 Uhr, 19.04.2010

Hey,

1. Deine Formel für

x_{1} (t)

enthält Fehler.
Überprüfe Deine Herleitung bzw. stelle sie hier rein !

2. Was soll denn hier eine Rekursionsformel liefern ?

3. Du hast hier einen bedämpften harmonischen Oszillator (bedämpftes Masse-Feder-System), das durch den Kurbeltrieb fremderregt wird.

4. Stelle die Bewegungsgleichung nach NEWTON auf !

Servus

ooTheDomeoo aktiv_icon

17:46 Uhr, 19.04.2010

Hey,

danke für deine Antwort. Aber ich muss gestehen, Mathe ist nicht meine Stärke. Ich muss nur diese eine Hausufgabe lösen. Dann ist der Schein einfach weg.

zu 1. ich weis nicht wo da der Fehler sein soll. Die Herletung hatten wir in der Vorlesung angefangen und ich habe versucht t mit ins spiel zu bringen.

zu 2. Die Rekursionsformel soll die Bewegung des Gewichtes zur Zeit t liefern. Also Quasi die Schwingung. Je nach dem wie groß die Drehzahl ist, schwingt die Kuh doch schneller oder langsamer. Wenn die Drehzahl des Antriebs ganz langsam ist, wird die bewegung 1:1 auf das Gewicht übertragen. Genauso wenn der Motor ganz schnell dreht.

zu 3. Schön das ich weis, wie es heißt :-)

zu 4. Physik und Ich ? das geht schief

Das soll jetzt nicht klingen, als ob ich mich vor Mathe Drücken möchte. Aber Ich frage mich, was dies in einem Wirtschaftsinformatik - Studiengang suchen hat *g*.

Was machte ich denn bei 1 noch Falsch? villeicht Hilft mir dies schon als Ansatz.

Rabanus aktiv_icon

19:28 Uhr, 19.04.2010

Also, für

x_{1} (t)

gilt:

x_{1} (t) = l_{1} \cdot cos (ω t) + \sqrt{l_{2}^{2} - l_{1}^{2} \cdot {sin}^{2} (ω t)}

mit

ω t = φ

Die Bewegungsgleichung (DGL) lautet:

m \cdot {\overset{..}{x}}_{2} + d ({\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1}) + c (x_{2} - x_{1}) = 0

Du kannst aber - zumindest nicht von mir - erwarten, dass ich Dir Deine Hausaufgabe hier löse.

Servus

ooTheDomeoo aktiv_icon

19:33 Uhr, 19.04.2010

Das habe ich auch nicht von dir Verlangt!!!!

Es ist nur für mich schwirig die Aufgabe zu überblicken bzw. zu Verstehen. Was muss ich denn mit der Bewegungsgleichung anfangen um zu meinem Ziel zu kommen

anonymous

12:05 Uhr, 20.04.2010

10 .)

Für sehr langsame Drehzahlen

(n \to 0)

treten keine wesentlichen Beschleunigungen oder Geschwindigkeiten auf.

D . h

. der Dämpfer hat keine Funktion. Man kann sich dazu die Feder als Koppelstange vorstellen.

D . h

. die Bewegung des Kolbens wird

1 : 1

auf die Masse (KuhElsa) übertragen (wie du schon sagtest).

Für sehr hohe Drehzahlen

(n \to

Unendlich) würde ich zwei Fälle unterscheiden.

a)

ohne Reibung,

d . h

. ohne Dämpfung: Jetzt treten sehr hohe Beschleunigungen

(d . h

. Trägheiten) auf. Wenn man sich die Masse (Trägheit) der Kuh Elsa sehr groß vorstellt, so verbleibt diese nahezu unbeweglich in einer mittleren Lage. Die Feder zupft nur abwechselnd kurz nach oben und dann schon wieder gleich lang (kurz) nach unten. Je höher die Drehzahl, desto kürzer die Beschleunigungszeiten,

d . h

. desto kleiner die Bewegungsamplituden (abgesehen von den Eigenfrequenz-Bewegungen).

b)

mit Reibung bzw. Dämpfung: Jetzt treten zusätzlich noch hohe Dämpfungskräfte auf, die umso höher werden, je höher die Geschwindigkeit (Drehzahl) ist. Jetzt wage ich keine Prognose mehr! Die Bewegungsverhältnisse sind abhängig von den Größen der Dämpfung und Masse. Wenn die Dämpfung sehr hart ausgelegt ist, so kann man sich diese als Koppelstange vorstellen. Das würde wiederum zu einer Übertragung der Kolben-Bewegung auf die Massen-Bewegung führen.

Und - "was sollst du mit den Bewegungsgleichungen anfangen?"
Nun, wenn ich es recht verstehe, sollst du ein Programm schreiben, das die Bewegung über der Zeit errechnet und ausgibt...

ooTheDomeoo aktiv_icon

13:44 Uhr, 20.04.2010

Hey,

du bist ein Held :-) genau das muss ich machen. Dazu msus ich die bewegungsgleichung einfach einsetzen oder. Wie schreibe ich dies jetzt genau in einer Rekursionsformel auf, die die gesamte Aufgabe löst?

Hast du da noch eine Idee? Ich muss einfach ein Programm schreiben, dass "NUR" Zeit, Position des Bleuls und Position des Gewichtes an der Feder ausgibt.

Position des Pleuls kann ich berechnen. Diesen Wert muss ich verwenden, um diesen als eingangswert für die Differentialgleichung zu verwenden oder?

Grüße

TheDome

anonymous

15:09 Uhr, 20.04.2010

Ich dachte, der Wirtschaft-Informatiker bist du?
Hast du auch Stärken? SORRY!

also: denk an Differenzen-Gleichungen - wie irgendwo in der Aufgabenbeschreibung auch erwähnt.
Du verwaltest drei Größen (Variablen) für:

>

die Position

y

>

die Geschwindigkeit y_Punkt

= v

>

die Beschleunigung y_Punkt_Punkt

= a

y_{i} + 1 = y_{i} + v \cdot δ_{t}

v_{i} + 1 = v_{i} + a \cdot δ_{t}

PS: es gibt natürlich auch intelligentere Iterationsverfahren, aber wie gesagt, der Informatiker bist du...

ooTheDomeoo aktiv_icon

15:34 Uhr, 20.04.2010

Ja ich habe stärken keine Angst. Ich habe nur eine Schwäche, die heißt mathematik. Aber Wirtschaftsmathematik kann ich wiederum sehr gut. Eine Iterative Lösung wandeln wir doch lieber mal in Rekursion um :-) wenn ich das heute abend umgesetzt habe kann ich das ja mal hier Posten.

:-)

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