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Fehler Taylorpolynom berechnen

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Funktionen

Tags: Funktion

oimmmm aktiv_icon

23:35 Uhr, 09.01.2016

Ich habe die Funktion

f (x) = x^{\frac{1}{4}}

gegeben.
Zunächst sollte ich das zweite Taylorpolynom an

x = 1

berechnen, welches lautet:

1 + \frac{x - 1}{4} - \frac{3}{32} \cdot {(x - 1)}^{2}

Nun soll ich eine Schranke für den Fehler für

x \in [0.9; 1.1]

bestimmen
Ich kenne den Term für den Rest, nämlich

| R 3 (x,1) | = \frac{f^{(3)} (z)}{3!} \cdot {(x - 1)}^{3}

für diesen Fall.

f''' (x) = \frac{21}{64 \cdot x^{\frac{11}{4}}}

das habe ich nun eingesetzt:

\frac{21}{64 \cdot x^{\frac{11}{4}}} \cdot \frac{1}{3!} \cdot {(x - 1)}^{3}

was nun?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

00:50 Uhr, 10.01.2016

Hallo
für den Fehlerabschätzung musst du den größten wert von

f''' (z)

mit

z \in [0 . 9,1 . 1]

nehmen man gibt den Fehler absolut mit

\pm

an und

x - 1

ist in dem Intervall maximal

0.1

da steht in der Fehlerformel absichtlich

f'' (z)

nicht

x,

für ein bestimmtes

x_{1}

gibt es ein

z

(das man aber nicht kennt) zeischen

x

und

x_{1}

das den exakten Fehler liefert, da man den nicht kennt muss man

max (f''' (z)

nehmen.
Gruß ledum

oimmmm aktiv_icon

02:25 Uhr, 10.01.2016

Danke für die Antwort. Der größte Wert von

f''' (x)

auf dem Intervall ist für

x = 0.9

Dem letzten Teil kann ich noch gut folgen.

Habe ich es richtig verstanden, dass der Fehler, bzw. die Schranke, die ich ausrechnen soll, die maximale Entfernung zwischen den beiden Funktionsgraphen auf dem Intervall ist? Ich habe die maximale Entfernung nämlich an

x = 0.9

durch einsetzen berechnet und sie beträgt ca.

0.00005875

.

Kannst du mir diesen Gedanken erklären: "und

x - 1

ist in dem Intervall maximal

0.1

" ? Ich kann hier nicht nachvollziehen, wie diese Information für die Lösung relevant ist, bzw. wie genau ich nun auf die Fehlerschranke komme (oder ist es der oben ausgerechnete Wert?).

ledum aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.01.2016

Hallo
du machst ja eine Fehlerabschätzung, die auch zu groß ausfallen kann!
da du

f''' (z)

ja das Maximum nimmst. natürlich , wenn du die 2 Graphen hast kannst du den Fehler an jeder Stelle exakt ablesen, das ist nicht der Sinn der Abschätzung .

(d . h

i . A

ist der angegebene Fehler zu groß aber wenn du etwa ne Tabelle rausgeben würdest mit Werten von

f

zwischen

0.9

und

. 1.1

kannst du diese maximale Abweichung garantieren.)
der Fehler ist 0 bei

x = 1

denn da stimmen ja

f

und

T_{2}

überein, er nimmt zu mit wachsendem Abstand

| x - 1 |

das ist bei dir

0,1

und zwar bei

t_{2}

eben mit

{| x - 1 |}^{3}

in deinem Intervall ist der größte Fehler an den Enden, da du ihn für das ganze Intervall angeben musst , musst du eben

0 . 1^{3}

rechnen.ich komme damit auf

7.3 \cdot 10^{- 5}

niemand sagt, dass das der exakte Fehler ist, nur der wirkliche Fehler liegt eben in dem Bereich

\pm 7.3 \cdot 10^{- 5}

der Fehler an der Stelle

0,9

darf nur nicht größer sein.
Gruss ledum

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