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Fettgehalt der Milch ermitteln

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

Marlene-J aktiv_icon

19:04 Uhr, 31.01.2010

Ich komm leider grad hier nicht weiter und könnte gut mal Hilfe gebrauchen, vor allem weil die Aufgabe eigentlich total leicht ist:

Von drei Milchsorten sind Fettgehalt und Preis je Liter bekannt:

Sorte

A : 3 %

Eiweiß, 0,6€
Sorte

B : 4 %

Eiweiß, 0,9€
Sorte

C : 6 %

Eiweiß, 1,2€

Wir möchten eine Mischung von einem Liter Milch mit einem Fettanteil von

3,5 %

herstellen.

Welches ist doe preisgüstigste Mischung? Wie gross ist dann der Literpreis?

Ich hab jetzt die 3 Gleichungen aufgestelt:

1.

x 1 + x 2 + x 3 = 1

3 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 = 3,5

0,6 x 1 + 0,9 x 2 + 1,2 x 3 = K

Und alles was ich dann weiter gerechnet habe, hat irgendwie zu nichts geführt.

Danke schonmal für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Jeyn0sch aktiv_icon

19:45 Uhr, 31.01.2010

HAst du schon versucht, das Glecihungssystem bis auf eine Variable

(z . B

x_1)zu lösen, daraus eine Gleichung in der Form

a \cdot x_{1} = K

aufzustellen und dann einmal nach

x_{1}

abzuleiten (minimum/maximum wenn Ableitung=0) sollte aus Kurvendiskussion bekannt sein...
aber is nur ne Idee, keine ahnung ob da was anständiges rauskommt

Marlene-J aktiv_icon

16:42 Uhr, 01.02.2010

Also wenn ich mich da nicht total vertan hab, geht das irgendwie nicht. Hab im Nachhinein rausgefunden, dass ich das mit ner Inversen Matrix lösen kann, wobei mich das wundert weil das zu dem Zeitpunkt noch nicht besprochen wurde. Und allgemein mit Matrix berechnen tue ich mich auch sehr schwer.

Aber schonmal danke für den Tipp

mathemaus999

18:12 Uhr, 02.02.2010

Also,

zuerst löst du das LGS mit den beiden ersten Gleichungen.

Das liefert dir das Lösungstupel

(0,5 + 2 r; 0,5 - 3 r; r)

Da alle drei Koordinaten zwischen 0 und 1 liegen müssen (die Menge darf nicht negativ sein und es darf nicht mehr als 1 Liter werden), musst du jetzt untersuchen, in welchem Breich das

r

liegen darf.

Für die erste Koordinate erhältst du

r \leq \frac{1}{6}

und

r \geq - \frac{1}{6}

Für die zweite Koordinate muss gelten:

r \geq - \frac{1}{4}

und

r \leq \frac{1}{4}

Das heißt,

r

muss zischen 0 und

\frac{1}{6}

liegen.

Jetzt werden die Kosten untersucht

(3

. Gleichung)

Wenn du dein Lösungstupel einsetzt und nach

K

auflöst, ergibt sich:

K = - 0,3 r + 0.75

Dieser Wert wird am kleinsten, wenn ich für

r

den größtmöglichen Wert einsetze, also

r = \frac{1}{6} .

Ich muss also die Sorten wie folgt mischen

x 1 = \frac{5}{6}

Liter

x 2 = 0

Liter

x 3 = \frac{1}{6}

Liter

Dann ist der Preis mit

0,8

€ am günstigsten.

Grüße

Marlene-J aktiv_icon

15:26 Uhr, 03.02.2010

Ok, also schonmal Danke für deine Hilfe. Die zweite Hälfte verstehe ich glaub ich auch, aber was ist eigentlich ein Tupel? Und wie bist du auf die erste Glichung bei dir gekommen?

mathemaus999

17:21 Uhr, 03.02.2010

Also,

als Grundlage habe ich die Gleichungen genommen, die du schon angegeben hattest, und zwar die beiden ersten.
Damit erhält man ein LGS mit drei Variablen und zwei Gleichungen. Das ist natürlich nicht eindeutig lösbar. In der Lösung tritt also eine Variable/ein Prarmeter auf. In dem Fall das

r .

Die Lösung gesteht also aus drei Zahlen bzw. Termen und zwar für

x,

für

y

und für

z .

Diese fasst man in einer Klammer zusammen. Bei zwei Zahlen nennt man das ein Paar, bei drei Zahlen ein Tripel oder ganz allgemein Tupel. Daher der Ausdruck.

Wenn du noch Fragen hast, dann kannst du sie ruhig stellen, aber wenn es geht konkret.

Grüße

718594

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