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Fibonacci Folge - geschlossene Form

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

manuelqed aktiv_icon

17:04 Uhr, 19.11.2017

Hi,
ich bin heute über ein Beispiel in einem Buch gestoßen, welches ich nicht ganz verstanden habe.

Gibt es eine geschlossene Formel für die Fibonacci Folge

F_{n}

?
Lösung:
Es seien a und

b

die Lösungen der Gleichung

x^{2} = x + 1

also

a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Behauptung:
Für

z \in {a, b}

gilt

z^{n} = F_{n} \cdot z + F_{n - 1}

für

n \geq 2

Für

n = 2

haben wir

z^{2} = z + 1 = F_{2} \cdot z + F_{1}

Induktionsschritt:

z^{n + 1} = z \cdot z^{n} = z (F_{n} \cdot z + F_{n - 1}) = ... = F_{n} (z + 1) + F_{n - 1} \cdot z = F_{n + 1} \cdot z + F_{n}

Meine erste Frage bezieht sich darauf warum

z^{n} = F_{n} \cdot z + F_{n - 1}

sein soll. Ich nehme an es wurde gleichgesetzt um die geschlossene Form zu zeigen, aber warum muss die geschlossene Form

z^{n}

sein bzw. warum soll das

F_{n} \cdot z + F_{n - 1}

sein? Ich könnte ja annehmen das es

z . B

(F_{n} + F_{n - 1}) \cdot z

ist.
Die zweite Frage bezieht sich auf die Zeile darunter: Für

n = 2

haben wir

z^{2} = z + 1,

wie kommt man auf dieses Ergebnis. Mir ist bewusst das aus der oben genannten Gleichung

x^{2} = x + 1

dies die Folgerung wäre. Was aber falls ich

z^{3}

berechnen wollen würde?

ledum aktiv_icon

17:20 Uhr, 19.11.2017

Hallo
warum es so sein soll? Weil es behauptet wird! und danach mit Induktion bewiesen, man kann jede Formel behaupten, wenn man sie dann beweisen kann. (hier kam eben jemand auf die richtige Idee, und hat dir erspart eine Formel zu erraten)
es ist bekannt

F_{0} = 1, F_{1} = 1, F_{2} = 1 + 1 = 2

für den Induktionsanfang setz einfach

z = a

oder

b

ein und rechne nach, dass es stimmt! das ist das übliche für einen Induktionsanfang.
und warum solltest du

z^{3}

berechnen, das bräuchtest du, wenn du dich überzeugen willst dass die Formel auch für

F_{3}, F_{2}

stimmt und nichts hindert dich daran! also

z^{3} = 3 \cdot z + 2

für

z 0 a

oder

z = b

Gruß ledum

manuelqed aktiv_icon

08:34 Uhr, 20.11.2017

Ja aber wenn ich

z^{3}

berechnen will, weiß ich nicht warum man die Werte der Fibonacci Folge verwendet. Also

z^{3} = 3 \cdot z + 2,

wieso 3 und 2?

ledum aktiv_icon

12:34 Uhr, 20.11.2017

Hallo
da steht doch

z^{n} = F_{n} \cdot z + F_{n - 1}

für

n = 3

also

z^{3} = F_{3} \cdot z + F_{2}

was ist

F_{2}

und

F_{3}

?
aber du musst das nicht ausrechnen, du musst die Induktionsanfang nur für

z = 2

machen,
nur weil du nach

z^{3}

gefragt hast, war mein Vorschlag das mal auszurechnen.
Gruß ledum

manuelqed aktiv_icon

08:13 Uhr, 21.11.2017

Danke jetzt hab ich es verstanden :-D)

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